Ορθογώνια πλακάκια
Έχετε δύο παζλ. Για ένα ορθογώνιο 1 επί n, με πόσους τρόπους μπορείτε να το γεμίσετε με ένα μείγμα τετραγώνων 1 επί 1 και ορθογωνίων 1 επί 2; Για ένα ορθογώνιο 2 επί n, με πόσους τρόπους μπορείτε να το γεμίσετε με ορθογώνια 1 επί 2;
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Γιατί αυτά τα δύο παζλ δίνουν τις ίδιες απαντήσεις; Ποιες είναι οι απαντήσεις όταν τα ορθογώνια που γεμίζονται έχουν μήκος 10; Τι γίνεται όταν έχουν μήκος 20;
ΕΡΕΥΝΑ
Πώς μοιάζουν αυτά τα δύο προβλήματα μεταξύ τους και με προηγούμενα παζλ; Πώς αλλάζουν τα πράγματα στο παζλ 1 επί n αν χρησιμοποιήσουμε κομμάτια 1 επί 1 και 1 επί 3; Πώς αλλάζουν τα πράγματα στο παζλ 1 επί n αν χρησιμοποιήσουμε κομμάτια 1 επί 1, 1 επί 2 και 1 επί 3;
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Το να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε προηγούμενα αποτελέσματα σε μέρος ή σε ολόκληρο ένα νέο παζλ είναι μια ισχυρή δεξιότητα.
Αυτά τα δύο παζλ έχουν ακριβώς την ίδια φύση. Τα κάθετα κομμάτια στο ορθογώνιο 2 xn αντιστοιχούν σε κομμάτια 1 επί 1 στο ορθογώνιο 1 xn, και τα οριζόντια κομμάτια στο ορθογώνιο 2 xn αντιστοιχούν σε κομμάτια 1 επί 2 στο ορθογώνιο 1 xn. Έτσι, δεν υπάρχει καμία διαφορά μεταξύ των δύο παζλ.
Επίσης, το παζλ ορθογωνίου 1 xn είναι ακριβώς όπως το παζλ με τα βήματα στο "Fibonacci - 2". Το να κάνεις ένα βήμα τη φορά είναι σαν να βάζεις ένα τετράγωνο 1 επί 1, και το να κάνεις δύο βήματα τη φορά είναι σαν να βάζεις ένα ορθογώνιο 1 επί 2. Τα δύο παζλ είναι τα ίδια, επομένως η ανάλυση και τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.
ΕΡΕΥΝΑ
Αν χρησιμοποιήσουμε ορθογώνια 1 επί 1 και 1 επί 3, πολλά αλλάζουν. Κοιτάξτε τις πρώτες τιμές και σκεφτείτε πώς υπολογίζονται. Λαμβάνουμε 1, 1, 2, 3, 4, 6 και 9 για τις πρώτες τιμές. Γενικά, η επόμενη τιμή είναι το άθροισμα της τρέχουσας τιμής και της τιμής δύο βήματα πριν από αυτήν. Είναι αρκετά απλό να υπολογιστεί, αλλά δεν είναι πλέον η ακολουθία Fibonnaci.
Αν χρησιμοποιήσουμε 1 επί 1, 1 επί 2 και 1 επί 3, τα πράγματα αλλάζουν ακόμη πιο δραματικά. Τώρα οι πρώτες τιμές δίνονται από 1, 2, 4, 7, 13 και 24. Η επόμενη τιμή στην ακολουθία είναι το άθροισμα των τριών προηγούμενων τιμών.
Ακολουθίες σαν αυτή που ορίζουν τους επόμενους όρους τους με έναν καθορισμένο τύπο που περιλαμβάνει προηγούμενους όρους ονομάζονται αναδρομικές ακολουθίες. Οι αριθμοί Fibonacci δεν είναι η μόνη αναδρομική ακολουθία, αλλά είναι πιθανώς οι πιο διάσημες.