Resaltanta Bilardpilko
LA DEFIO
Bilardglobo pafita laŭ 45-grada angulo de la malsupra maldekstra angulo de 3 je 4 bilardtablo resaltos 5 fojojn antaŭ ol trafi la malsupran dekstran angulon de la tablo. Se vi komencas ĉe la malsupra maldekstra angulo de 4 je 7 bilardtablo, kiom da fojoj la pilko resaltos antaŭ ol trafi unu el la anguloj?
ESPLORADO
Por aliaj grandecoj de tabloj, ĉu vi povas antaŭdiri, kiu angulo estos trafita unue kaj kiom da resaltoj estos faritaj? Ĉu vi povas uzi iujn ideojn el geometrio por helpi vin simpligi la problemon?
Notoj
LA DEFIO KAJ ESPLORADO
Ĉi tio povas esti ludita kaj plene ĝuata per uzado de grafika papero kaj observado de la okazoj. Ĝi ankaŭ povas esti alirata pli sisteme kaj rigore.
La unua afero rimarkinda estas, ke la grandeco de la tablo ne estas tiom grava kiom ĝia formo. Ĉiu rektangulo simila al alia (havanta la saman proporcion de flankaj longoj) donos la saman rezulton. Do tablo 3 je 4 estos la sama kiel tablo 6 je 8 kaj tablo 9 je 12.
Utila ekzerco je ĉi tiu punkto estas kolekti la rezultojn de tio, kio okazas por tabeloj 1 je n kaj 2 je n.
- 1 per n: La pilko ricevos n – 1 resaltojn kaj alvenos en la malsupra dekstra angulo se n estas para, kaj en la supra dekstra angulo se n estas nepara.
- 2 per n: Se n = 2k, tiam 2 per 2k kondutas kiel tabelo 1 per k (ĉar ili estas similaj). Se 2 per (2k + 1) estas n resaltoj kaj la pilko finas en la supra maldekstra angulo.
Post iom pli da eksperimentado aperas ĝenerala rezulto!
rezulto
Se k kaj n ne havas komunajn faktorojn, tiam la tabelo ak laŭ n havos k + n – 2 resaltojn. La pilko finiĝos en la supra maldekstra angulo se k estas para. Se k estas nepara, la pilko finiĝos en la supra dekstra angulo se n estas nepara kaj en la malsupra dekstra angulo se n estas para. Se k kaj n havas komunajn faktorojn, tiam dividu tiujn faktorojn kaj apliku ĉi tiun rezulton al la reduktitaj nombroj.
Unu interesa tekniko por vidi tion pli facile estas "malfaldi" la resaltojn. Faru kradon de tabloj, kiel en la bildo, kaj lasu la pilkon iri rektlinie tra ĉiuj tabloplatoj!
