Egiptaj Frakcioj – 4
Antaŭ ĉirkaŭ 4000 jaroj, la antikvaj egiptoj evoluigis sistemon, kie ĉiuj iliaj frakcioj estis de la formo
1/n. Ĉi tiuj nomiĝas Egiptaj FrakciojKelkaj egiptaj frakcioj povas esti skribitaj kiel la diferenco de du
Egiptaj frakcioj. ⅓ = ½ – ⅙ estas ekzemplo de tio.
LA DEFIO
Kiuj egiptaj frakcioj povas esti skribitaj kiel diferenco de du egiptaj frakcioj en nur
unudirekta? Kiuj povas esti skribitaj laŭ ekzakte du manieroj? Ĉu ekzistas iuj, kiuj havas pli ol du manierojn?
1/N = 1/A – 1/B
Notoj
LA DEFIO
Unu afero rimarkinda estas, ke por iu ajn n, ekzistas limigita nombro da eblaj solvoj. Se 1/N = 1/A – 1/B, tiam 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 signifas, ke N > A. Do, 1 < A < N, kio signifas, ke ekzistas maksimume N – 2 solvoj, kaj ili povas esti trovitaj, iom tede, per kontrolado de ĉiuj valoroj de A en tiu intervalo.
Por denominatoroj kiuj estas paraj nombroj, ekzemple 2d, ĉiam ekzistas 1/2d = 1/d – 1/2d.
Alia maniero produkti diferencojn estas komenci per adicia formulo. La plej simpla, kiun ni havas, estas ke 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Tio fariĝas 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Pli ĝenerala versio de tio estas 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] kiu fariĝas 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] kie ab > 1.
Do, kiam ajn la denominatoro povas esti faktorigita kiel a(a+b), kun a kaj b pozitivaj kaj ab > 1, ni havos diferencon. Aparte, ĉar ĉiu nombro n > 2 povas esti skribita kiel n = 1 x (1 + (n-1)), tiam ĉiu egipta frakcio povas esti skribita kiel diferenco laŭ almenaŭ unu maniero. Jen kelkaj ekzemploj:
- ⅓: a = 1, b = 2 donas ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3 donas ⅓ – 1/12
- ⅕: a = 1, b = 4 donas ¼ – 1/20
- ⅙: a = 1, b = 5 donas ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 donas ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6 donas ⅙ – 1/42
- ⅛: a = 1, b = 7 donas 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 donas ¼ – 1/8
Tio ne estas ĉio. Ekzemple, ni maltrafis ⅙ = ¼ – 1/12.
Enprofundiĝante en iom da algebro, por a > 1 kaj b > a > 1, konsideru 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Forigante la denominatorojn, ni ricevas ab = n(ba), kaj solvante por n, ni ricevas n = ab/(ba). Kiam ajn ni povas trovi a kaj b, kiuj tion funkcius, ni povos produkti la diferencon.
Ni rigardu la kompletajn solvojn por kelkaj ekzemploj el ĉi tiu vidpunkto kaj vidu ĉu ni povas trovi ŝablonon.
- 3 = 2 × 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 × 4 / (4 -2) = 3 × 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 × 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 × 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 × 8 / (8 – 4) = 6 × 24 / (24 – 6) = 7 × 56 / (56 – 7)
Rigardante ĉi tiujn ekzemplojn, ŝajnas probable, ke ekzistas nur unu solvo kiam n estas primo. Ni vidu kial tio estas. Se n estas primo kaj a < n, tiam n = axb / (b – a) devigas b esti multoblo de n, ekzemple b = nx c. Tiam n = ax nc / (nc – a) diras, ke ac / (nc – a) = 1, kio signifas ac = nc – a. Reskribante ĉi tion, ni ricevas nc = a(c + 1). Ĉar n estas primo, ni havas c + 1 = n kaj a = c = n – 1. Do a = n – 1 kaj b = n(n-1) estas la sola solvo.