Evitar rectángulos – 2
Las X en una cuadrícula pueden convertirse en las esquinas de rectángulos con lados horizontales y verticales. En esta primera cuadrícula, las X forman dos rectángulos. Sin embargo, el objetivo es evitar la formación de rectángulos. En la segunda cuadrícula, las X se colocan de manera que se evite la formación de rectángulos.
EL RETO
Coloca tantas X como puedas en esta cuadrícula de 4 por 4 y evita crear rectángulos.
EXPLORACIÓN
¿Cuál es el valor máximo que puedes tener para otros tamaños de cuadrícula? ¿Observas algún patrón en tus respuestas?
Notas
EL RETO
Resolver esto, en general, es un problema matemático muy difícil y aún sin solución. Sin embargo, eso no debería impedir que un estudiante experimente con él y aprenda muchas cosas interesantes en el proceso.
Supongamos que la cuadrícula tiene m filas y n columnas. En "Evitando rectángulos - 1", encontramos los siguientes resultados para las mejores respuestas.
Filas 1 y 2: Teníamos m + n – 1 X.
3 filas: Teníamos m + n X usando un diagrama inicial para una cuadrícula de 3x3 que se veía como el siguiente diagrama. Usando ese diagrama, si tuviéramos 3 filas con más columnas, podemos simplemente agregar una sola X en cada nueva columna.
El caso de 3x3 requirió un enfoque distinto al de las estrategias de 1 y 2 filas, y es tentador pensar que los ejemplos con 4 o más filas también requerirán un nuevo planteamiento. Obviamente, queremos crear una colección de columnas que nunca compartan un par de filas con X.
Una estrategia consiste en rellenar todo en la columna de la izquierda excepto el cuadrado inferior, y luego el resto de las columnas tendrán una X en la fila inferior y una X en otra fila. Esto siempre funciona y produce (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X para una cuadrícula cuadrada de m x m. Este método para rellenar el cuadrado se puede extender (añadiendo una sola X en cada nueva columna) a cualquier cuadrícula con m filas para dar 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, cuando m < n. Esta fórmula funciona para todas las respuestas para cualquier tamaño de cuadrícula (con más de 1 fila) hasta el momento.
EXPLORACIÓN
Si buscas las mejores respuestas en línea, verás que puedes hacer 12 X para el caso de 5 por 5 (que puedes obtener usando el patrón) y luego 16 X para el caso de 6 por 6 (que se muestra aquí).
Después de eso, los números que comienzan en 7 por 7 en orden son: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 y 122. Los matemáticos han realizado muchas exploraciones interesantes sobre cómo funcionan estos números, ¡y sus alumnos de matemáticas también pueden divertirse mucho con ello!
