Sumas iguales – 2
EL RETO
Aquí tienes un diagrama creado al superponer tres círculos. Los círculos superpuestos forman seis regiones. Coloca un número en cada una de las seis regiones, usando cada número del 1 al 6 exactamente una vez, de manera que la suma de los números en cada círculo sea la misma.
EXPLORACIÓN
¿Cuántas respuestas diferentes puedes encontrar? ¿Cómo sabes que las has encontrado todas?
Notas
EL DESAFÍO Y LA EXPLORACIÓN
Aquí están las cuatro soluciones. Para ver por qué estas son las únicas, sean A, B y C las tres regiones donde se intersecan dos círculos, y sea Suma la suma común de los tres círculos. Calcula la suma total de dos maneras. Como la suma de los tres círculos, la suma es 3 x Suma. Como la suma de los seis números más A, B y C, la suma es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Las dos cosas son iguales, por lo que tenemos 3 x Suma = 21 + A + B + C. Dividiendo por 3, tenemos Suma = 7 + (A + B + C)/3.
Para que la suma sea un número entero en esta última ecuación, A + B + C debe ser divisible exactamente por 3. Esto permite solo cuatro posibilidades para A + B + C: 6, 9, 12 o 15, y los valores correspondientes para la suma son 9, 10, 11 o 12.
Las cuatro soluciones que se presentan aquí tienen valores de suma de 9, 10, 11 y 12. Como veremos, ¡estas son todas las soluciones!
Para ahorrar trabajo, tenga en cuenta que si tomamos una solución y le restamos todos los valores de 7, obtenemos otra solución. Además, observe que la nueva solución tendrá una suma de 21 menos la suma anterior. Por lo tanto, las soluciones para las sumas 9 y 10 nos dan las soluciones para las sumas 11 y 12.
Si A + B + C = 6, entonces A, B y C son 1, 2 y 3, y la suma es 9. Esa es la solución de la esquina superior izquierda.
Si A + B + C = 9, entonces la suma es 10 y (A, B, C) es (1, 2, 6), (1, 3, 5) o (2, 3, 4). Si lo compruebas, (1, 2, 6) y (2, 3, 4) son imposibles. Esto deja la solución de la esquina superior derecha como la única solución con suma igual a 10.
Si comparas “Equal Sums – 2” con “Magic Triangles – 1”, ¡verás que son el mismo rompecabezas!