Encontrar cuadrados – 2
En esta cuadrícula se muestran en rojo dos cuadrados de 1x1 y un cuadrado de 2x2 con lados horizontales y verticales.
EL RETO
Encuentra la cantidad de cuadrados de todos los tamaños y orientaciones en esta cuadrícula. A diferencia de lo que se muestra en la introducción, ¡no todos estos cuadrados tendrán lados horizontales y verticales!
EXPLORACIÓN
Experimenta con lo que sucede con cuadrículas más grandes y con cuadrículas que no sean cuadradas.
Notas
EL RETO
Los cuadrados posibles con lados horizontales y verticales tienen longitudes de lado desde 1 hasta uno menos que el número de filas/columnas.
Para cada tamaño de cuadrado, piensa en la esquina superior izquierda como la posición inicial. Puedes producir todos los cuadrados de este tamaño en la cuadrícula moviendo este cuadrado inicial. Tienes la opción de moverlo hacia la derecha o hacia abajo el número restante de posiciones. Estas son opciones independientes, por lo que obtienes cuadrado de ese tamaño cuadrado.
Por ejemplo, supongamos que contamos cuadrados de 2x2 en esta cuadrícula de 5x5. Un cuadrado de 2x2 en la esquina superior izquierda se puede desplazar 1 o 2 casillas a la derecha y 1 o 2 casillas hacia abajo. Por lo tanto, hay 3 posiciones posibles horizontalmente (contando la posición original) y 3 posiciones posibles verticalmente. Así, hay 3 x 3 de estos cuadrados de 1x1.
Para el problema original de la cuadrícula de 5 por 5, esto da como resultado el siguiente recuento de cuadrados con lados horizontales y verticales:
- Cuadrados de 1 por 1: 4 x 4 = 16
- Cuadrados de 2 por 2: 3 x 3 = 9
- Cuadrados de 3 por 3: 2 x 2 = 4
- Cuadrados de 4 por 4: 1 x 1 = 1.
Hay un total de 16 + 9 + 4 + 1 = 30 cuadrados posibles con lados horizontales y verticales.
El truco para los cuadrados restantes es seguir contando de forma organizada. Describiré un cuadrado según la función de uno de sus lados. Por ejemplo, un cuadrado con un lado que va una casilla a la derecha y una casilla hacia arriba, o un cuadrado con un lado que va dos casillas a la derecha y una casilla hacia arriba: estos son dos de los cuadrados que se muestran en esta ilustración.
Contando deslizando como antes tenemos:
- 1 a la derecha y 1 hacia arriba: 3 x 3 = 9
- 2 a la derecha y 1 hacia arriba: 2 x 2 = 4
- 3 a la derecha y 1 hacia arriba: 1 x 1 = 1
- 2 a la izquierda y 1 hacia arriba: 2 x 2 = 4
- 3 a la izquierda y 1 hacia arriba: 1 x 1 = 1
- 2 a la derecha y 2 hacia arriba: 1 x 1 = 1
Entonces el total es: 30 (de antes) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
EXPLORACIÓN
¡Puedes explorar otros tamaños encontrando un sistema de conteo organizado!