Rectángulos de teselado
Tienes dos acertijos. Para un rectángulo de 1xn, ¿de cuántas maneras puedes llenarlo con una mezcla de cuadrados de 1x1 y rectángulos de 1x2? Para un rectángulo de 2xn, ¿de cuántas maneras puedes llenarlo con rectángulos de 1x2?
EL RETO
¿Por qué estos dos rompecabezas dan las mismas respuestas? ¿Cuáles son las respuestas cuando los rectángulos que se rellenan miden 10 de largo? ¿Y cuando miden 20 de largo?
EXPLORACIÓN
¿En qué se parecen estos dos problemas entre sí y a los rompecabezas anteriores? ¿Cómo cambia el rompecabezas de 1xn si usamos piezas de 1x1 y 1x3 en su lugar? ¿Cómo cambia el rompecabezas de 1xn si usamos piezas de 1x1, 1x2 y 1x3?
Notas
EL RETO
Saber cómo aplicar resultados anteriores a una parte o a la totalidad de un nuevo rompecabezas es una habilidad muy valiosa.
Estos dos rompecabezas son prácticamente idénticos. Las piezas verticales del rectángulo de 2xn corresponden a las piezas de 1x1 del rectángulo de 1xn, y las piezas horizontales del rectángulo de 2xn corresponden a las piezas de 1x2 del rectángulo de 1xn. Por lo tanto, no existe ninguna diferencia entre ambos rompecabezas.
Además, el rompecabezas del rectángulo de 1 x n es idéntico al rompecabezas de pasos de «Fibonacci – 2». Avanzar un paso a la vez equivale a completar un cuadrado de 1 x 1, y avanzar dos pasos a la vez equivale a completar un rectángulo de 1 x 2. Ambos rompecabezas son iguales, por lo que el análisis y los resultados son los mismos.
EXPLORACIÓN
Si usamos rectángulos de 1x1 y 1x3, la cosa cambia bastante. Observemos los primeros valores y cómo se calculan. Obtenemos 1, 1, 2, 3, 4, 6 y 9 para los primeros valores. En general, el siguiente valor es la suma del valor actual y el de dos pasos anteriores. Es bastante sencillo de calcular, pero ya no se trata de la secuencia de Fibonacci.
Si usamos multiplicaciones de 1 por 1, 1 por 2 y 1 por 3, la situación cambia aún más drásticamente. Ahora, los primeros valores son 1, 2, 4, 7, 13 y 24. El siguiente valor de la secuencia es la suma de los tres anteriores.
Las secuencias de este tipo, que definen sus términos siguientes mediante una fórmula que involucra términos anteriores, se denominan secuencias recursivas. Los números de Fibonacci no son la única secuencia recursiva, pero probablemente sean la más famosa.