Calculatrice cassée – 1
Vous avez une calculatrice en très mauvais état. Seules les touches 4, 7, + et - fonctionnent. Malgré ces limitations, il est possible de calculer tous les nombres. Par exemple :
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
LE DÉFI
Démontrer que cette calculatrice peut effectuer tous les calculs de 1 à 12.
EXPLORATION
Remplacez 4 et 7 par d'autres paires de nombres. Quand est-il possible d'obtenir tous les nombres de 1 à 12, et quand est-ce impossible ? Pouvez-vous, à partir d'une paire de nombres, prédire ce qui va se passer ?
Remarques
LE DÉFI
Les élèves expérimentent avec tous les nombres que l'on peut obtenir en additionnant un multiple de 4 et un multiple de 7. Sans le savoir, ils découvrent le théorème de Bézout. Ce théorème stipule que l'ensemble des multiples (positifs et négatifs) de deux nombres est l'ensemble des multiples de leur plus grand commun diviseur (PGCD). Le PGCD de 4 et 7 étant 1, on devrait pouvoir obtenir tous les nombres possibles. De plus, il existe une infinité de façons d'obtenir chacun d'eux.
Voici quelques exemples pour les nombres de 1 à 12 :
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 × 4 – 5 × 7 = 16 × 4 – 9 × 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 × 7 – 10 × 4 = 10 × 7 – 17 × 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2x4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3x4
Une fois que vous avez trouvé la combinaison du plus grand commun diviseur (PGCD), vous pouvez l'utiliser pour obtenir n'importe quel multiple de ce PGCD. Pour 4 et 7, une façon d'obtenir 1 est de calculer 2 × 4 – 7. On peut obtenir n'importe quel autre nombre, comme 23, en écrivant 23 = 23 × (2 × 4 – 7) = 46 × 4 – 23 × 7. Une fois que nous avons une solution pour un nombre, nous pouvons obtenir toutes les autres solutions en y ajoutant 0 (cela peut paraître étrange). Par exemple, 1 = 2 × 4 – 7 = (2 × 4 – 7) + (7 × 4 – 4 × 7) = 9 × 4 – 5 × 7. On peut ajouter n'importe quel multiple de (7 × 4 – 4 × 7) sans changer la valeur.
EXPLORATION
Comme indiqué précédemment, ce processus produira exactement tous les multiples du plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres. Si ce PGCD est égal à 1, alors tous les nombres seront produits.
Prenons 4 et 6 comme exemple. Leur PGCD est 2. Toute combinaison de multiples de 4 et 6 sera toujours paire ; il est donc impossible d'obtenir tous les nombres. Cela devient plus évident si l'on considère 4 et 6 comme 2 fois 2 et 3. On sait que la somme des multiples de 2 et 3 donne tous les nombres, car ils sont premiers entre eux. Or, 4 et 6 prennent chacune de ces sommes et la multiplient par 2 ; c'est pourquoi on obtient tous les multiples de 2 !