Produits égaux
LE DÉFI
Trouvez sept chiffres uniques différents qui rendent ces trois produits identiques.
EXPLORATION
Une fois ce problème résolu, réfléchissez à ce qui le rend intéressant. Comment pourriez-vous le modifier tout en conservant son intérêt ? Que se passe-t-il si vous utilisez l’addition au lieu de la multiplication ?
Remarques
LE DÉFI:
On remarque d'abord que 5 ne peut pas être un chiffre. S'il l'était, il ne pourrait figurer que dans deux groupes de trois au maximum ; cela signifierait qu'un ou deux groupes contiendraient un facteur 5, mais pas les autres. De même, 7 ne peut pas être un chiffre.
Il reste donc les sept chiffres, 1, 2, 3, 4, 6, 8 et 9, qui doivent tous être utilisés.
L'utilisation de la décomposition en facteurs premiers facilite grandement la compréhension de la suite de l'analyse. Il nous faudra équilibrer le nombre de facteurs de 2 et le nombre de facteurs de 3 parmi les trois produits.
Le produit de ces sept chiffres est 27 × 34. Quel est le produit commun ? Il doit être au moins égal à 23 × 32, car il y a forcément un 8 et un 9 dans la solution. Si l'on développe les trois groupes, on obtient un produit total de 29 × 36. Comme C et E sont les seules lettres qui se répètent dans le produit des trois nombres, cela signifie que C × E = 22 × 32. La seule façon d'obtenir ce résultat est que C et E soient respectivement égaux à 4 et 9.
Une vérification rapide révèle qu'augmenter la puissance de 2 ou 3 ne fonctionnera pas.
Une fois que nous avons fixé C = 9 et E = 4, le reste suit rapidement.
La réponse est : 1 8 9 2 4 3 6.
EXPLORATION:
Ce qui rend cette énigme intéressante, c'est le rôle des nombres premiers. De plus, le nombre de nombres choisis est supérieur de deux au nombre de chiffres requis, ce qui nous permet d'éliminer exactement deux possibilités.
Si l'on utilisait l'addition au lieu de la multiplication, il y aurait beaucoup trop de solutions. Un bon casse-tête intègre des contraintes qui restreignent le nombre de solutions à quelques-unes seulement.