Les énigmes de la semaine

LE DÉFI

Il est important de noter que pour tout n, le nombre de solutions possibles est limité. Si 1/N = 1/A – 1/B, alors 1/A – 1/N = 1/B > 0. Or, 1/A – 1/N > 0 signifie que N > A. Par conséquent, 1 < A < N, ce qui implique qu'il existe au plus N – 2 solutions. Celles-ci peuvent être trouvées, de manière assez fastidieuse, en testant toutes les valeurs de A dans cet intervalle.

Pour les dénominateurs qui sont des nombres pairs, par exemple 2d, il y a toujours 1/2d = 1/d – 1/2d.

Une autre façon de calculer les différences consiste à partir d'une formule d'addition. La plus simple est : 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. On obtient alors : 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Une version plus générale est : 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)], ce qui donne : 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)], où ab > 1.

Ainsi, chaque fois que le dénominateur peut être factorisé sous la forme a(a+b), avec a et b positifs et ab > 1, on obtient une différence. En particulier, puisque tout nombre n > 2 peut s'écrire sous la forme n = 1 × (1 + (n-1)), alors toute fraction égyptienne peut s'écrire sous forme de différence d'au moins une manière. Voici quelques exemples :

• ⅓ : a = 1, b = 2 donne ½ – ⅙
• ¼ : a = 1, b = 3 donne ⅓ – 1/12
• ⅕ : a = 1, b = 4 donne ¼ – 1/20
• ⅙ : a = 1, b = 5 donne ⅕ – 1/30 ; a = 2, b = 1 donne ½ – ⅓
• 1/7 : a = 1, b = 6 donne ⅙ – 1/42
• ⅛ : a = 1, b = 7 donne 1/7 – 1/56 ; a = 2, b = 2 donne ¼ – 1/8

Ce n'est pas tout. Par exemple, nous avons omis ⅙ = ¼ – 1/12.

En introduisant quelques notions d'algèbre, pour a > 1 et b > a > 1, considérons 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. En simplifiant les dénominateurs, on obtient ab = n(ba), et en résolvant pour n, on obtient n = ab/(ba). Dès que nous pourrons trouver des valeurs de a et b qui vérifient cette égalité, nous pourrons calculer la différence.

Examinons les solutions complètes de quelques exemples de ce point de vue et voyons si nous pouvons repérer une tendance.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 - 2) = 3 x 12 / (12 – 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

À la lumière de ces exemples, il semble probable qu'il n'existe qu'une seule solution lorsque n est premier. Voyons pourquoi. Si n est premier et a < n, alors n = a × b / (b – a) implique que b est un multiple de n, par exemple b = n × c. On en déduit que n = a × nc / (nc – a) implique que ac / (nc – a) = 1, ce qui signifie que ac = nc – a. En réécrivant cette expression, on obtient nc = a(c + 1). Puisque n est premier, on a c + 1 = n et a = c = n – 1. Ainsi, a = n – 1 et b = n(n – 1) est l'unique solution.