Remplir des triangles avec des triangles
Un triangle régulier est un triangle dont tous les côtés et tous les angles sont égaux (il est équilatéral et équiangle). Voici comment remplir un grand triangle régulier avec 1, 4 ou 7 triangles réguliers.
LE DÉFI
Trouvez d'autres nombres de triangles réguliers nécessaires pour remplir un grand triangle régulier. Pouvez-vous le faire avec 2, 3, 5, 6, 8, 9 ou 10 triangles réguliers ?
EXPLORATION
Lorsque cela est possible, trouvez plusieurs façons d'obtenir certains de ces chiffres.
Remarques
LE DÉFI
Voici une méthode systématique pour constituer différents décomptes.
Carrés : Un bon point de départ est l’apprentissage des nombres carrés. Il est facile de remplir un triangle avec 1, 4 et 9 triangles en suivant le motif régulier illustré ci-dessous.
Nombres pairs : Après quelques essais, vous pouvez créer des motifs pour 6, 8, 10 ou tout autre nombre pair supérieur, comme suit. Commencez par un grand triangle, puis placez des triangles plus petits le long d’un côté.
Remplacement d'un triangle : L'étape suivante consiste à constater que n'importe quel triangle d'une solution peut être remplacé par n'importe quelle autre solution existante. Par exemple, cela a été fait pour obtenir le motif du chiffre 7 dans l'introduction : le triangle central du chiffre « 4 » a été remplacé par quatre triangles plus petits pour former le chiffre « 7 ».
Lorsqu'un triangle est remplacé par quatre triangles, le nombre total de triangles augmente de 3. Partons de la liste des solutions utilisant les carrés parfaits et les nombres pairs : 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 et 16. Ajoutons ensuite 3 à chaque élément de cette liste pour obtenir 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 et 17. La combinaison de ces deux listes donne toutes les possibilités jusqu'à 17 : 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 et 17. Grâce à ces idées, trouver tous les nombres supérieurs à 17 est relativement simple, et nous arrivons donc à la conclusion suivante :
Réponse : Tous les nombres sont possibles sauf 2, 3 et 5.
EXPLORATION
Certains de ces nombres peuvent être obtenus de plusieurs façons. Par exemple, 9 peut être représenté par un motif 3 x 3 ou par 6 plus trois. Bien sûr, il existe d'autres manières intéressantes de remplir un triangle à découvrir.