Trouver des carrés – 1
Dans cette grille, deux carrés de 1 x 1 et un carré de 2 x 2, avec des côtés horizontaux et verticaux, sont dessinés en rouge.
LE DÉFI
Trouvez le nombre de carrés de toutes tailles ayant des côtés horizontaux et verticaux dans cette grille.
EXPLORATION
Essayez des grilles encore plus grandes. Parviendrez-vous à trouver une méthode systématique pour compter tous les carrés ? Votre réponse change-t-elle, le cas échéant, si la grille de points est un rectangle et non un carré ?
Remarques
LE DÉFI
Les carrés possibles ont des longueurs de côté allant de 1 à 4.
Pour chaque taille de carré, considérez le coin supérieur gauche comme la position de départ. Vous pouvez créer tous les carrés de cette taille dans la grille en déplaçant ce carré de départ. Vous avez le choix de le déplacer vers la droite ou vers le bas du nombre de positions restantes. Ces choix sont indépendants, vous obtenez donc carré de cette taille carré.
Par exemple, supposons que vous comptiez des carrés de 1 x 1 dans cette grille de 4 x 4. Un carré de 1 x 1 situé dans le coin supérieur gauche peut être décalé de 1 ou 2 cases vers la droite et de 1 ou 2 cases vers le bas. Il y a donc 3 positions possibles horizontalement (en comptant la position initiale) et 3 positions possibles verticalement. Il y a ainsi 3 x 3 de ces carrés de 1 x 1.
Pour le problème initial de la grille 4x4, cela donne le résultat suivant :
- Carrés 1 par 1 : 3 x 3 = 9
- Carrés 2 par 2 : 2 x 2 = 4
- Carrés 3 par 3 : 1 x 1 = 1.
Il y a un total de 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 carrés possibles.
EXPLORATION
Pour toute grille carrée, le nombre total de carrés est égal à la somme des numéros de carrés inférieurs à la taille de la grille. Par exemple, une grille de 7 x 7 comporte 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 carrés.
Les grilles rectangulaires sont presque aussi faciles à compter. La plus petite des deux dimensions du rectangle détermine la taille maximale des carrés possibles. On les compte de la même manière que pour une grille carrée. Plutôt que de traiter le cas général, prenons un exemple illustratif.
Supposons que vous comptiez les carrés d'une grille de 5 par 7. Comme il n'y a que 5 rangées, aucun carré ne peut être plus grand que 4 par 4.
- Carrés 1 par 1 : 4 x 6 = 24
- Carrés 2 par 2 : 3 x 5 = 15
- Carrés 3 par 3 : 2 x 4 = 8
- Carrés 4 par 4 : 1 x 3 = 3
Le nombre total de carrés est 24 + 15 + 8 + 3 = 50.