Les énigmes de la semaine

LE DÉFI

Pour simplifier la discussion, j'écrirai l'expression sous la forme A/B x C/D.

Partie 1 : A/B × C/D = 2/3. Multiplions les deux membres par 3 × B × D, ce qui donne 3 × A × C = 2 × B × D. Observons cette équation en utilisant les facteurs premiers 2 et 3 : ils doivent être équilibrés de part et d’autre de l’équation. Parmi 3, 6 et 9, nous avons quatre facteurs de 3. Parmi 2, 4, 6 et 8, nous avons sept facteurs de 2. Il existe deux cas de figure pour le traitement des facteurs 3.

• Cas 1 : Ni A ni C ne sont 3 ou 6, et B est 3 ou 6.
  • B=3 : 3 x A x C = 2 x 3 x D se réduit à A x C = 2 x D. Les solutions à ceci sont 1 x 4 = 2 x 2, 1 x 8 = 2 x 4.
  • B=6 : 3 x A x C = 2 x 6 x D se réduit à A x C = 4 x D. La solution à ceci est 1 x 8 = 4 x 2.
• Cas 2 : A vaut 3 ou 6, et B vaut 9.
  • A=3 : 3 x 3 x C = 2 x 9 x D se réduit à C = 2 x D – les options pour (C, D) sont (2, 1), (4, 2) et (8, 4).
  • A=6 : 3 x 6 x C = 2 x 9 x D se réduit à C = D, ce qui est impossible.

Les solutions au problème sont donc données par :

• (1 x 4) / (3 x 2)
• (1 x 8) / (3 x 4)
• (1 x 8) / (6 x 2)
• (3 x 2) / (9 x 1)
• (3 x 4) / (9 x 2)
• (3 x 8) / (9 x 4)

Partie 2 : A/B x C/D ≈ 5/11. Multipliez les deux membres par 11 x B x D pour obtenir 11 x A x C ≈ 5 x B x D. Nous cherchons des multiples de 11 proches des multiples de 5 et pouvant être obtenus avec les chiffres de 1 à 9.

Voici la liste à considérer. Ce sont des multiples qui diffèrent de 1 et qui peuvent être obtenus avec les chiffres de 1 à 9 : 11 × 4 ≈ 8 × 5 ; 11 × 9 ≈ 20 × 5 ; et 11 × 16 ≈ 35 × 5. Plus les nombres sont grands, mieux c’est ; intéressons-nous donc à ce dernier.

(2 x 8) / (5 x 7) = 16 / 35 est très proche de 5/11 – ils diffèrent de 1 / (35 x 11) = 1 / 385.

Peut-être que des multiples espacés de deux ou trois donneraient de meilleurs résultats ? Il ne semble pas y avoir de candidats qui constitueraient une amélioration.