Carrés magiques – 3
Dans un carré magique , la somme des lignes, des colonnes et des diagonales est identique. Le premier carré n'est pas un carré magique. Le second est un carré magique dont la somme est toujours égale à 12.
LE DÉFI
Utilisez chacun des chiffres de 0 à 8 une fois pour compléter ce carré magique.
EXPLORATION
Existe-t-il plusieurs façons de résoudre ce problème ? Qu'ont en commun ces différentes façons ? Comment votre réponse changerait-elle si vous utilisiez les nombres de 1 à 9 ? Et les nombres pairs de 2 à 18 ?
Remarques
LE DÉFI
Laissez vos élèves explorer cette activité. S'ils sont attentifs, ils découvriront des liens intéressants et en tireront de nombreux bénéfices. Pour les plus jeunes, il est inutile de se lancer dans une analyse approfondie. Voici une méthode plus analytique pour trouver les solutions.
Somme commune : La méthode la plus simple pour analyser ce puzzle est de trouver la somme commune. La somme de chaque ligne est égale à la somme commune. De plus, les trois lignes contiennent les nombres de 0 à 8 et leur somme est égale à trois fois la somme commune. Par conséquent, trois fois la somme commune est 36 (la somme des nombres de 0 à 8), donc la somme commune est 12.
Carré central : L’étape suivante consiste à additionner les quatre lignes passant par le carré central. Leur somme commune est 12 et il y a quatre lignes, donc leur somme est de 4 × 12 = 48. Autrement dit, les quatre lignes contiennent chaque nombre une fois, plus le carré central trois fois. La somme des nombres de 0 à 8 est 36. Donc, 48 est égal à 36 plus 3 fois le carré central. Par conséquent, le carré central vaut 4.
Additionner jusqu'à 12 : Il existe étonnamment peu de façons d'additionner jusqu'à 12. Les voici :
(0 4 8) (1 4 7) (2 4 6) (3 4 5) (0 5 7) (1 3 8) (1 5 6) (2 3 7)
Cette liste vous permet de tirer de nombreuses conclusions. Observez la fréquence d'apparition de chaque nombre dans un triplet :
- 4 fois : 4
- 3 fois : 1, 3, 5, 7
- 2 fois : 0, 2, 6, 8
Ensuite, comparez cela au nombre de fois où un carré du diagramme apparaît sur l'une des lignes. Vous constaterez que le carré central apparaît sur quatre lignes, les carrés des coins sur trois lignes et le milieu des côtés sur deux lignes. C'est une autre façon de démontrer que le carré central a la valeur 4. De plus, les carrés des coins ont les valeurs 1, 3, 5 et 7, et le milieu des côtés a les valeurs 0, 2, 6 et 8.
Remplissez le carré : le plus dur est fait. Commencez par placer le 4 au centre et le 7 dans un coin. Notez que le 0 doit être placé à côté du 7, d'un côté ou de l'autre (sinon le 8 serait forcé à côté du 7). Vous n'aurez plus le choix ensuite. Une solution, par rangées, est : (7 0 5) (2 4 6) (3 8 1). Remarquez que cette solution est identique à toute autre obtenue en faisant pivoter le carré et éventuellement en le retournant.
EXPLORATION
Comme indiqué dans le dernier paragraphe, toutes les solutions sont essentiellement les mêmes : faire pivoter le carré jusqu'à ce que les 7 soient dans le même coin, et prendre l'image miroir (si nécessaire) le long de la diagonale pour placer le 0 dans la même position.
Pour résoudre ce puzzle pour les nombres de 1 à 9, il faudrait ajouter 1 à chaque valeur de la solution pour les nombres de 0 à 8. Pour le résoudre pour les nombres de 2 à 18, il faudrait doubler toutes les valeurs de la solution pour les nombres de 1 à 9.