Chiffres mobiles – 2
LE DÉFI
Trouvez un nombre à 4 chiffres, ABCD, qui satisfait cette équation intéressante lorsque vous inversez les chiffres :
ABCD x 4 = DCBA
EXPLORATION
Cherchez à comprendre pourquoi cela ne se produit pas pour les nombres inférieurs à 1000. Recherchez également des nombres supérieurs à 9 999 qui présentent cette propriété.
Remarques
LE DÉFI
Puisque la multiplication de ABCD par 4 donne un nombre à 4 chiffres, A vaut nécessairement 1 ou 2. De plus, comme le chiffre des unités de D est égal à A, A est pair. Donc A = 2. Notre équation devient alors 2BCD × 4 = DCB².
Le produit de D par 4 donne 2, ce qui signifie que D vaut 3 ou 8. Remarquez que 4 fois un nombre supérieur à 2000 donne un nombre d'au moins 8000. Par conséquent, D doit valoir 8.
Notre équation est maintenant 2BC8 x 4 = 8CB2.
B doit être inférieur à 3, sinon 2B x 4 sera supérieur à 8999. En considérant C8 x 4 et en parcourant les dix valeurs de C, la seule façon d'obtenir une valeur de B dans cet intervalle est que C soit égal à 2 ou 7 et B à 1. Par conséquent, il ne nous reste que deux nombres à vérifier : 2128 ou 2178.
La réponse est 2178 !
EXPLORATION
La logique qui démontre que le nombre doit avoir un chiffre de poids fort de 2 et un chiffre de poids faible de 8 reste valable quel que soit le nombre de chiffres que comporte le nombre.
Pour les nombres à deux chiffres, 28 ne fonctionne pas. Pour les nombres à trois chiffres, 2 × 8 ne fonctionne pour aucune valeur de x.
L'analyse des grands nombres est peut-être plus complexe que vous ne le souhaitez. Voici les nombres suivants : 21978, 219978 et 2199978.