Équilibre du plateau – 3
Une balance à plateaux permet de savoir si ses deux plateaux supportent le même poids ou si l'un des plateaux est plus lourd que l'autre.
LE DÉFI
Vous avez 25 pièces. Toutes les pièces, sauf une, ont le même poids. La pièce restante est une contrefaçon et son poids est légèrement inférieur ou supérieur (vous ne savez pas lequel). En effectuant seulement deux pesées, déterminez si la contrefaçon est plus légère ou plus lourde.
EXPLORATION
Comment votre stratégie évolue-t-elle si vous commencez avec un nombre différent de pièces ? Deux pesées suffisent-elles toujours ? La stratégie est-elle différente selon le nombre de pièces ?
Remarques
LE DÉFI
Commencez par former deux groupes de pièces de même poids (7 ou 8 pièces conviennent également). Pesez ces deux groupes l'un par rapport à l'autre.
Si les deux groupes s'équilibrent, alors la fausse pièce se trouve forcément dans le groupe restant de pièces de taille 11. Prenez n'importe quel groupe de 11 pièces parmi les deux premiers groupes et pesez-le par rapport aux pièces restantes.
Si les deux groupes ne s'équilibrent pas, alors toutes les pièces restantes sont authentiques. Choisissez sept pièces parmi celles-ci et pesez-les avec l'un ou l'autre des deux groupes initiaux. Si les poids s'équilibrent, la pièce contrefaite se trouvait dans l'autre groupe. Sinon, elle se trouvait dans l'autre groupe. Dans les deux cas, vous saurez ainsi si la pièce contrefaite était plus légère ou plus lourde.
EXPLORATION
Cette méthode fonctionne toujours. Commencez par former deux groupes de taille égale x. Supposons qu'il reste y pièces. Pour pouvoir suivre la procédure décrite précédemment, x + x doit être au moins égal à y (dans le cas où les deux groupes s'équilibrent), et y doit être au moins égal à x (dans le cas où ils ne s'équilibrent pas). Pour tout nombre de pièces différent de cinq, cela se réalise facilement en divisant x par quatre (nombre initial de pièces) et en arrondissant à l'entier supérieur si le résultat n'est pas un quotient précis.
Étonnamment, je crois que cinq pièces nécessitent trois pesées !