Compter les pas
Lorsqu'on monte des escaliers, certaines personnes préfèrent les gravir deux par deux, du moins parfois. Cela soulève la question de savoir combien de façons différentes il existe de monter des escaliers de cette manière.
LE DÉFI
De combien de façons différentes peut-on monter 10 marches en alternant pas simples et pas doubles (il peut s'agir uniquement de pas simples, uniquement de pas doubles ou d'un mélange des deux) ? Et pour 20 marches ?
EXPLORATION
Voyez-vous une régularité que vous reconnaissez ? Pouvez-vous trouver un raccourci qui facilitera le décompte de toutes les façons de procéder ?
Remarques
LE DÉFI ET L'EXPLORATION
Voici une autre exploration de la suite de Fibonacci. Les premières combinaisons possibles sont : 1, 2, 3, 5 et 8. Après avoir résolu le casse-tête de l'ascendance des abeilles et découvert les premiers nombres de celui-ci, vos élèves devraient se méfier.
La difficulté réside dans la compréhension de l'application de la suite de Fibonacci. Prenons l'exemple de la montée de dix marches. On peut classer les différentes manières de monter dix marches en deux catégories. La première regroupe toutes les façons de monter neuf marches puis de faire un pas supplémentaire pour atteindre la dixième. La seconde regroupe toutes les façons de monter huit marches puis de faire un pas double pour atteindre la dixième. Chaque possibilité est comptabilisée de cette manière, sans qu'aucune ne soit comptée deux fois.
En général, le nombre de façons de monter n marches est égal au nombre de façons de monter (n – 1) marches plus le nombre de façons de monter (n – 2) marches. C'est précisément la suite de Fibonacci.