Carreaux rectangulaires
Vous avez deux problèmes. Combien de façons existe-t-il de remplir un rectangle de 1 x n avec un mélange de carrés de 1 x 1 et de rectangles de 1 x 2 ? Combien de façons existe-t-il de remplir un rectangle de 2 x n avec des rectangles de 1 x 2 ?
LE DÉFI
Pourquoi ces deux énigmes donnent-elles les mêmes réponses ? Quelles sont les réponses lorsque les rectangles à remplir mesurent 10 de long ? Et lorsqu’ils mesurent 20 de long ?
EXPLORATION
En quoi ces deux problèmes se ressemblent-ils et ressemblent-ils aux énigmes précédentes ? Que se passe-t-il dans le puzzle 1 x n si l’on utilise des pièces 1 x 1 et 1 x 3 ? Que se passe-t-il dans le puzzle 1 x n si l’on utilise des pièces 1 x 1, 1 x 2 et 1 x 3 ?
Remarques
LE DÉFI
Savoir appliquer des résultats antérieurs à une partie ou à la totalité d'un nouveau problème est une compétence précieuse.
Ces deux puzzles sont fondamentalement identiques. Les pièces verticales du rectangle 2 x n correspondent aux pièces 1 x 1 du rectangle 1 x n, et les pièces horizontales du rectangle 2 x n correspondent aux pièces 1 x 2 du rectangle 1 x n. Il n'y a donc aucune différence entre les deux puzzles.
De plus, le puzzle du rectangle 1 x n est identique au puzzle des étapes de « Fibonacci – 2 ». Avancer étape par étape revient à placer un carré de 1 x 1, et avancer deux étapes à la fois revient à placer un rectangle de 1 x 2. Les deux puzzles étant identiques, l'analyse et les résultats le sont également.
EXPLORATION
Si l'on utilise des rectangles de 1 x 1 et de 1 x 3, beaucoup de choses changent. Observons les premières valeurs et leur mode de calcul. On obtient 1, 1, 2, 3, 4, 6 et 9 pour les premières valeurs. En général, la valeur suivante est la somme de la valeur actuelle et de celle qui la précède de deux rangs. Le calcul est assez simple, mais il ne s'agit plus de la suite de Fibonacci.
Si l'on utilise la méthode 1 par 1, 1 par 2 et 1 par 3, la situation change encore plus radicalement. Les premières valeurs sont alors 1, 2, 4, 7, 13 et 24. La valeur suivante est la somme des trois précédentes.
Les suites qui définissent leurs termes suivants par une formule faisant intervenir les termes précédents sont appelées suites récursives. La suite de Fibonacci n'est pas la seule suite récursive, mais elle est sans doute la plus célèbre.