Produtos iguais
O RETO
Atopa sete díxitos individuais diferentes que fagan que estes tres produtos sexan iguais.
EXPLORACIÓN
Despois de resolver isto, pensa no que o fai un crebacabezas interesante. Como poderías cambialo e seguilo facendo interesante? Que ocorre se usas a suma en lugar da multiplicación?
Notas
O RETO:
Primeiro, observa que o 5 non pode ser un dos díxitos. Se o fose, podería estar como máximo en dous dos grupos de tres; isto significaría que un ou dous dos grupos terían un factor de 5, pero os restantes non. Do mesmo xeito, o 7 non pode ser un dos díxitos.
Iso deixa os sete díxitos, 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 9, que deben usarse todos.
Empregar factorizacións primas facilita moito a comprensión do que ocorre no resto da análise. Teremos que equilibrar o número de factores de 2 e o número de factores de 3 entre os tres produtos.
O produto destes sete díxitos é 27 × 34. Cal debe ser o produto común? Debe ser polo menos 23 × 32, xa que haberá un 8 e un 9 nalgún lugar da solución. Se multiplicamos os tres grupos, créase un produto total de 29 × 36. Dado que C e E son as únicas letras repetidas ao multiplicar os tres produtos, iso significa que C × E = 22 × 32. A única forma de facelo é facer que C e E sexan 4 e 9.
Unha comprobación rápida revela que aumentar a potencia de 2 ou 3 non funcionará.
Unha vez que fixamos C = 9 e E = 4, o resto segue rapidamente.
A resposta é: 1 8 9 2 4 3 6.
EXPLORACIÓN:
O que fai que este crebacabezas sexa interesante é o papel que xogan os números primos nel. Ademais, a selección de números é dous máis que o número de díxitos necesarios, e podemos descartar exactamente dúas das posibilidades.
Se usásemos a suma en vez da multiplicación, habería demasiadas solucións. Un bo crebacabezas incorpora restricións que o reducen a ter só unhas poucas solucións.