Jumlah yang Sama – 4
TANTANGAN
Berikut adalah diagram yang dibuat dengan menumpuk empat lingkaran. Lingkaran yang tumpang tindih tersebut menciptakan delapan wilayah. Masukkan angka ke dalam setiap delapan wilayah tersebut, gunakan setiap angka 1 hingga 8 tepat satu kali, sehingga jumlah angka di setiap lingkaran sama.
EKSPLORASI
Berapa banyak jawaban berbeda yang dapat Anda temukan? Apakah menurut Anda masih ada lagi? Apa yang terjadi jika Anda menggunakan rentang angka lain? Apakah ada masalah menarik lainnya seperti ini yang melibatkan lingkaran yang berpotongan?
Catatan
TANTANGAN & EKSPLORASI
Mulailah dengan menentukan jumlah mana yang mungkin untuk jumlah umum semua lingkaran. Misalkan Jumlah adalah nilai tersebut. Misalkan A, B, C, dan D adalah nilai dari empat wilayah tempat dua lingkaran berpotongan. Jumlah keempat lingkaran adalah 4 x Jumlah, dan juga 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Maka kita memiliki persamaan 4 x Jumlah = 36 + A + B + C + D, sehingga Jumlah = 9 + (A + B + C + D) / 4. Nilai terkecil yang mungkin dimiliki A + B + C + D adalah 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Ini harus dapat dibagi, jadi nilai terkecil yang mungkin adalah 12, yang berarti nilai terkecil yang mungkin adalah Jumlah = 9 + 12/4 = 12.
Perhatikan bahwa setiap solusi dapat diubah menjadi solusi lain dengan mengurangi semua entri dari 9. Melakukan ini akan mengubah Jumlah lama menjadi 27 – Jumlah. Akibatnya, satu-satunya nilai yang mungkin untuk Jumlah adalah 12, 13, 14, dan 15. Karena 12 dan 15 terikat bersama, dan 13 dan 14 terikat bersama, kita hanya perlu memeriksa solusi untuk 12 dan 13.
Berikut adalah solusi untuk penjumlahan dengan nilai 12 dan 13. Ternyata, ini adalah satu-satunya solusi untuk kedua penjumlahan tersebut.
Perhatikan bahwa angka-angka di pusat lingkaran yang tidak saling bersentuhan jika dijumlahkan akan menghasilkan angka yang sama. Misalnya, pada diagram paling kiri, 8 + 4 = 5 + 7. Buktikan bahwa ini selalu terjadi dengan sedikit aljabar. Misalkan K dan L adalah nilai-nilai di pusat dua lingkaran yang berlawanan, dan misalkan M dan N adalah dua nilai lainnya. Jika kita menjumlahkan luas daerah untuk kedua lingkaran untuk K dan L, kita mendapatkan 2 x Jumlah = K + L + (A + B + C + D). Demikian pula, menjumlahkan luas daerah untuk kedua lingkaran untuk M dan N memberikan 2 x Jumlah = M + N + (A + B + C + D). Ini memaksa K + L = M + N.
Perhatikan juga bahwa karena 4 x Jumlah = 36 + A + B + C + D, kita mendapatkan 2 x Jumlah = M + N + (4 x Jumlah – 36). Dengan menuliskannya kembali, kita memiliki M + N = 36 – 2 x Jumlah. Untuk empat nilai Jumlah kita, 12 hingga 15, nilai M + N adalah 12, 10, 8, dan 6.
Karena 12 = 4 + 8 = 5 + 7 adalah satu-satunya cara untuk mendapatkan 12, maka solusi di atas untuk Jumlah = 12 adalah satu-satunya solusi. Meskipun 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 menunjukkan ada lebih banyak kemungkinan untuk Jumlah = 13, pemeriksaan cepat terhadap tiga kemungkinan pasangan (2, 8), (3, 7), dan (4, 6) menunjukkan bahwa solusi di atas adalah satu-satunya solusi untuk Jumlah = 13.