Menyusun Persegi Panjang
Anda memiliki dua teka-teki. Untuk persegi panjang berukuran 1 x n, berapa banyak cara Anda dapat mengisinya dengan campuran persegi 1 x 1 dan persegi panjang 1 x 2? Untuk persegi panjang berukuran 2 x n, berapa banyak cara Anda dapat mengisinya dengan persegi panjang 1 x 2?
TANTANGAN
Mengapa kedua teka-teki ini memberikan jawaban yang sama? Apa jawabannya ketika persegi panjang yang diisi memiliki panjang 10? Bagaimana jika panjangnya 20?
EKSPLORASI
Bagaimana kedua masalah ini mirip satu sama lain dan dengan teka-teki sebelumnya? Bagaimana perubahannya pada teka-teki 1xn jika kita menggunakan potongan 1x1 dan 1x3? Bagaimana perubahannya pada teka-teki 1xn jika kita menggunakan potongan 1x1, 1x2, dan 1x3?
Catatan
TANTANGAN
Memahami cara menerapkan hasil sebelumnya pada sebagian atau seluruh teka-teki baru adalah keterampilan yang sangat berharga.
Kedua teka-teki ini pada dasarnya sama persis. Potongan vertikal pada persegi panjang 2 x n sesuai dengan potongan 1 x 1 pada persegi panjang 1 x n, dan potongan horizontal pada persegi panjang 2 x n sesuai dengan potongan 1 x 2 pada persegi panjang 1 x n. Jadi, sebenarnya tidak ada perbedaan antara kedua teka-teki tersebut.
Selain itu, teka-teki persegi panjang 1 x n persis sama dengan teka-teki tangga di “Fibonacci – 2.” Melangkah satu langkah demi satu langkah seperti memasukkan persegi 1 x 1, dan melangkah dua langkah sekaligus seperti memasukkan persegi panjang 1 x 2. Kedua teka-teki tersebut sama, sehingga analisis dan hasilnya pun sama.
EKSPLORASI
Jika kita menggunakan persegi panjang 1x1 dan 1x3, banyak hal berubah. Perhatikan beberapa nilai pertama dan pertimbangkan bagaimana nilai-nilai tersebut dihitung. Kita mendapatkan 1, 1, 2, 3, 4, 6, dan 9 untuk beberapa nilai pertama. Secara umum, nilai berikutnya adalah jumlah dari nilai saat ini dan nilai dua langkah sebelumnya. Perhitungannya cukup sederhana, tetapi ini bukan lagi deret Fibonacci.
Jika kita menggunakan 1 kali 1, 1 kali 2, dan 1 kali 3, keadaannya berubah lebih dramatis lagi. Sekarang beberapa nilai pertama diberikan oleh 1, 2, 4, 7, 13, dan 24. Nilai berikutnya dalam urutan tersebut adalah jumlah dari tiga nilai sebelumnya.
Barisan seperti ini yang menentukan suku-suku berikutnya dengan rumus tetap yang melibatkan suku-suku sebelumnya disebut barisan rekursif. Bilangan Fibonacci bukanlah satu-satunya barisan rekursif, tetapi mungkin yang paling terkenal.