Evitare i rettangoli – 2
Le X in una griglia possono diventare gli angoli di rettangoli con lati orizzontali e verticali. Le X in questa prima griglia formano due rettangoli. Tuttavia, l'obiettivo è evitare di creare rettangoli. Le X nella seconda griglia sono posizionate in modo da non formare alcun rettangolo.
LA SFIDA
Inserisci quante più X possibile in questa griglia 4x4, evitando di creare rettangoli.
ESPLORAZIONE
Qual è il valore massimo che si può ottenere con griglie di altre dimensioni? Notate qualche schema ricorrente nelle vostre risposte?
Note
LA SFIDA
Risolvere questo problema in generale è un problema molto difficile e tuttora irrisolto in matematica. Tuttavia, ciò non dovrebbe impedire a uno studente di cimentarsi con esso e di imparare molte cose interessanti lungo il percorso.
Supponiamo che la griglia abbia m righe e n colonne. In Evitare i rettangoli – 1, abbiamo trovato i seguenti risultati per le risposte migliori.
1 e 2 righe: Avevamo m + n – 1 X
3 righe: Avevamo m + n X utilizzando un diagramma iniziale per una griglia 3x3 che assomigliava al seguente diagramma. Usando quel diagramma, se avessimo 3 righe con più colonne, potremmo semplicemente aggiungere una singola X in ogni nuova colonna.
Il caso 3x3 ha richiesto un approccio diverso rispetto alla strategia con 1 o 2 righe, ed è facile pensare che anche gli esempi con 4 o più righe richiederanno un nuovo ragionamento. Per dirla in modo ovvio, vogliamo creare una raccolta di colonne che non condividano mai una coppia di righe contenenti delle X.
Una strategia consiste nel riempire tutte le caselle della colonna più a sinistra tranne quella in basso, e poi inserire una X nell'ultima riga delle colonne rimanenti e una X in un'altra riga. Questo metodo funziona sempre e produce (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X per una griglia quadrata di m per m. Questo metodo per riempire la griglia può poi essere esteso (aggiungendo una singola X in ogni nuova colonna) a qualsiasi griglia con m righe per ottenere 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, quando m < n. Questa formula funziona per tutte le risposte per griglie di qualsiasi dimensione (con più di 1 riga) finora.
ESPLORAZIONE
Cercando le risposte migliori online si scopre che si possono fare 12 X per il caso 5x5 (che si può ottenere usando lo schema) e poi 16 X per il caso 6x6 (mostrato qui).
Dopodiché, i numeri che iniziano da 7 in ordine crescente sono: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 e 122. I matematici hanno condotto molte interessanti ricerche per capire come funzionano questi numeri, e anche i vostri studenti di matematica potranno divertirsi molto!
