Somme uguali – 2
LA SFIDA
Ecco un diagramma creato sovrapponendo tre cerchi. La sovrapposizione dei cerchi crea sei regioni. Inserisci un numero in ciascuna delle sei regioni, utilizzando ciascuno dei numeri da 1 a 6 esattamente una volta, in modo che la somma dei numeri in ogni cerchio sia la stessa.
ESPLORAZIONE
Quante risposte diverse riesci a trovare? Come fai a sapere di averle trovate tutte?
Note
LA SFIDA E L'ESPLORAZIONE
Ecco le quattro soluzioni. Per capire perché queste sono le uniche, siano A, B e C le tre regioni in cui si intersecano due cerchi, e sia Somma la somma comune dei tre cerchi. Calcoliamo la somma totale in due modi. Come somma dei tre cerchi, la somma è 3 x Somma. Come somma di tutti e sei i numeri più A, B e C, la somma è 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Le due cose sono uguali, quindi otteniamo 3 x Somma = 21 + A + B + C. Dividendo per 3, abbiamo Somma = 7 + (A + B + C)/3.
Affinché la somma sia un numero intero in quest'ultima equazione, A + B + C deve essere divisibile per 3. Questo lascia solo quattro possibilità per A + B + C: 6, 9, 12 o 15, e i corrispondenti valori per la somma sono 9, 10, 11 o 12.
Le quattro soluzioni qui presentate hanno valori di somma pari a 9, 10, 11 e 12. Come vedremo, queste sono tutte le soluzioni!
Per semplificare i calcoli, notiamo che se prendiamo una soluzione e sottraiamo tutte le voci da 7, otteniamo un'altra soluzione. Inoltre, notiamo che la nuova soluzione avrà un valore di somma pari a 21 – (vecchia somma). Pertanto, le soluzioni per i valori di somma 9 e 10 ci forniscono le soluzioni per i valori di somma 11 e 12.
Se A + B + C = 6, allora A, B e C sono rispettivamente 1, 2 e 3, e la somma è 9. Questa è la soluzione in alto a sinistra.
Se A + B + C = 9, allora la somma è 10 e (A, B, C) è (1, 2, 6), (1, 3, 5) o (2, 3, 4). Se si verifica, (1, 2, 6) e (2, 3, 4) sono impossibili. Questo lascia la soluzione in alto a destra come unica soluzione con somma = 10.
Se confrontate "Somme uguali - 2" con "Triangoli magici - 1", vedrete che si tratta dello stesso rompicapo!