פאזלים של השבוע

האתגר והחקירה

ניתן לשחק עם זה וליהנות ממנו מאוד על ידי שימוש בדף נייר מילימטרי ולראות מה קורה. ניתן גם לגשת לזה בצורה שיטתית וקפדנית יותר.

הדבר הראשון שיש לשים לב אליו הוא שגודל השולחן אינו חשוב כמו צורתו. כל מלבן הדומה לאחר (בעל אותו יחס אורכי צלעות) ייתן את אותה התוצאה. לכן שולחן בגודל 3 על 4 יהיה זהה לשולחן בגודל 6 על 8 ולשולחן בגודל 9 על 12.

תרגיל שימושי בשלב זה הוא לאסוף את התוצאות של מה שקורה עבור טבלאות 1 כפול n ו-2 כפול n.

• 1 על n: הכדור יקפץ n – 1 ויגיע לפינה הימנית התחתונה אם n זוגי, ובפינה הימנית העליונה אם n אי-זוגי.
• 2 כפול n: אם n = 2k, אז 2 כפול 2k מתנהגים כמו שולחן של 1 כפול k (מכיוון שהם דומים). ב-2 כפול (2k + 1) יש n ניתורים והכדור מגיע לפינה השמאלית העליונה.

לאחר עוד כמה ניסויים מופיעה תוצאה כללית!

תוֹצָאָה

אם ל-k ו-n אין גורמים משותפים, אז ל-ak בטבלה של n יהיו k + n – 2 ניתורים. הכדור יסתיים בפינה השמאלית העליונה אם k זוגי. אם k אי-זוגי, הכדור יסתיים בפינה הימנית העליונה אם n אי-זוגי ובפינה הימנית התחתונה אם n זוגי. אם ל-k ו-n יש גורמים משותפים, חלקו את הגורמים הללו והחילו תוצאה זו על המספרים המצומצמים.

טכניקה נחמדה אחת לראות זאת ביתר קלות היא "לפרוש" את הקפיצות. צרו רשת של שולחנות, כפי שמוצג בתמונה, ותנו לכדור לעבור בקו ישר דרך כל משטחי השולחן!