長方形を避ける – 2
グリッド内のX印は、水平方向と垂直方向の辺を持つ長方形の角になることがあります。最初のグリッドでは、X印によって2つの長方形が形成されます。しかし、目標は長方形の形成を避けることです。2番目のグリッドでは、長方形が形成されないようにX印が配置されています。
チャレンジ
この4×4のグリッド内に、できるだけ多くのX印を配置してください。ただし、長方形は作らないようにしてください。
探鉱
他のサイズのグリッドでは、最大でどれくらいまで設定できますか？回答に何か傾向が見られますか？
Notes
チャレンジ
一般的にこれを解くことは、数学において非常に難しく、未解決の問題です。しかし、だからといって学生がこの問題に取り組んでみて、その過程で多くの興味深いことを学ぶことを諦めるべきではありません。
グリッドがm行n列であると仮定します。「長方形の回避 – 1」では、最適な回答として以下の結果が得られました。
1行目と2行目： m + n – 1個のXがありました
3行： 3×3のグリッドの初期図を使用して、m + n個のXがありました。その図は次の図のようになります。この図を使用すると、行が3つ増えて列数が増える場合は、新しい列ごとにXを1つ追加するだけで済みます。
3×3のケースでは、1行や2行の戦略とは異なるアプローチが必要であり、4行以上の例でも新たな考え方が必要になるだろうと推測したくなる。言うまでもなく、我々はXを含む行を決して共有しない列の集合を作成したいのだ。
一つの戦略は、一番下のマス目以外、一番左の列のすべてを埋め、残りの列では一番下の行に 1 つ、別の行に 1 つの X を入れることです。これは常に機能し、m x m の正方形のグリッドでは (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) 個の X が生成されます。この正方形を埋める方法は、m 行の任意のマス目に (新しい列ごとに 1 つの X を追加することで) 拡張でき、m < n の場合、3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 個の X が得られます。この公式は、これまでのところ、任意のサイズのグリッド (行が 1 つ以上ある場合) のすべての答えに有効です。
探鉱
オンラインで最適な答えを探すと、5×5の場合（パターンを使って得られる）は12個のX、6×6の場合（ここに示されている）は16個のXで解けることがわかります。
その後、7×7の順に並べると、21、24、29、34、39、45、52、56、61、67、74、81、88、96、105、108、115、122となります。数学者たちは、これらの仕組みについて多くの興味深い研究を行ってきました。あなたの数学の生徒たちも、きっと楽しんでくれるでしょう！
