今週のパズル

チャレンジ

注目すべき点の一つは、任意の n に対して、可能な解の数が限られているということです。1/N = 1/A – 1/B の場合、1/A – 1/N = 1/B > 0 となります。1/A – 1/N > 0 は N > A を意味します。したがって、1 < A < N となり、解は最大で N – 2 個しか存在しません。これらの解は、その範囲内の A のすべての値を調べることで、やや面倒ではありますが見つけることができます。

分母が偶数の場合、例えば 2d の場合、常に 1/2d = 1/d – 1/2d が成り立ちます。

差分を求めるもう1つの方法は、加算式から始めることです。最も単純な式は 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)] です。これは 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)] となります。より一般的な式は 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] で、これは 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] となります。ただし、ab > 1 です。

したがって、分母が a(a+b) のように因数分解できる場合（a と b は正で ab > 1 の場合）、差が生じます。特に、n > 2 のすべての数は n = 1 x (1 + (n-1)) と表せるため、すべてのエジプト分数は少なくとも 1 つの方法で差として表すことができます。以下にいくつかの例を示します。

• ⅓: a = 1、b = 2 の場合、½ – ⅙
• ¼: a = 1、b = 3 の場合、⅓ – 1/12 となります。
• 1/5: a = 1、b = 4 の場合、1/4 – 1/20 となります。
• ⅙: a = 1、b = 5 の場合、⅕ – 1/30 になります。 a = 2、b = 1 の場合、½ – ⅓ になります。
• 1/7: a = 1、b = 6 の場合、⅙ – 1/42 となります。
• ⅛: a = 1、b = 7 の場合、1/7 – 1/56 になります。a = 2、b = 2 の場合、¼ – 1/8 になります。

これは全てではありません。例えば、⅙ = ¼ – 1/12 を見落としています。

代数的な考察に入ると、a > 1 かつ b > a > 1 の場合、1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab となります。分母を消去すると ab = n(ba) となり、n について解くと n = ab/(ba) となります。この式が成り立つような a と b を見つけることができれば、その差を求めることができます。

この観点からいくつかの例題の完全な解答を見て、何らかのパターンが見つかるかどうか確認してみましょう。

• 3 = 2 × 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 × 4 / (4 - 2) = 3 × 12 / (12 - 3)
• 5 = 4 × 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 × 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

これらの例を見ると、nが素数の場合、解は1つしかないように思えます。その理由を見ていきましょう。nが素数でa < nの場合、n = axb / (b – a) はbがnの倍数であることを強制します。例えば、b = nx c とします。次に、n = ax nc / (nc – a) はac / (nc – a) = 1 を意味し、これはac = nc – a を意味します。これを書き直すと、nc = a(c + 1) となります。nは素数なので、c + 1 = n であり、a = c = n – 1 です。したがって、a = n – 1 および b = n(n-1) が唯一の解となります。