正方形を見つける – 2
このグリッドには、水平方向と垂直方向の辺を持つ1×1の正方形が2つと、2×2の正方形が1つ、赤色で描かれている。
チャレンジ
このグリッドに含まれる、あらゆるサイズと向きの正方形の数を求めなさい。導入部分で示されているものとは異なり、これらの正方形すべてが水平方向と垂直方向の辺を持つとは限りません。
探鉱
より大きなグリッドや、正方形ではないグリッドで何が起こるか試してみてください。
Notes
チャレンジ
水平方向と垂直方向の辺を持つ正方形は、辺の長さが1から行数／列数より1少ない値までの範囲で存在し得る。
各サイズの正方形について、左上隅を開始位置と考えてください。この開始正方形を移動させることで、グリッド内にこのサイズのすべての正方形を作成できます。右に移動するか、残りの数だけ下に移動するかを選択できます。これらは独立した選択なので、そのサイズの正方形の1乗。
例えば、この5×5のグリッドの中で2×2の正方形を数えているとします。左上隅にある2×2の正方形は、右に1または2、下に1または2ずらすことができます。したがって、水平方向には（元の位置を含めて）3通り、垂直方向にも3通りの位置が考えられます。つまり、このような1×1の正方形は3×3個存在することになります。
元の5×5グリッド問題の場合、水平方向と垂直方向の辺を持つ正方形の数は次のようになります。
- 1×1の正方形：4×4＝16
- 2×2の正方形：3×3＝9
- 3×3の正方形：2×2＝4
- 4×4の正方形：1×1＝1。
水平方向と垂直方向の辺を持つ正方形は、全部で16 + 9 + 4 + 1 = 30通りあります。
残りの正方形を数えるコツは、引き続き整理された状態で数えることです。正方形は、その辺の一つがどのような動きをするかで説明します。例えば、辺が右に1つ、上に1つ伸びている正方形、あるいは辺が右に2つ、上に1つ伸びている正方形などです。これらは、この図に示されている正方形のうちの2つです。
これまでと同じようにスライドさせて数えると、次のようになります。
- 右に1つ、上に1つ：3×3＝9
- 右に2つ、上に1つ：2×2＝4
- 右に3つ、上に1つ：1×1＝1
- 左に2つ、上に1つ：2×2＝4
- 左に3つ、上に1つ：1×1＝1
- 右に2つ、上に2つ：1×1＝1
合計は、30（先ほど）+ 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49 です。
探鉱
体系的な数え方を見つけることで、他のサイズも探ってみることができます！