2024年6月

ニュース

寄付とトランプ– EFMは支援者の方から5,000ドルの寄付をいただきました。この資金は、トランプと絵本の配布に活用する予定です。これらの配布物にご興味のある方は、ぜひご連絡ください。

EFMモバイルアプリ – EFMモバイルアプリは、iOSとAndroidの両方のスマートフォンで利用できるようになりました。英語とスペイン語の両方に対応していますが、スペイン語版のコンテンツはやや遅れています。アプリストアで「Early Family Math」を検索してください。

EFM 入門ストーリーブック– これらの 26 話は、英語と、スペイン語、フランス語、中国語 (簡体字と繁体字)、韓国語、日本語、アラビア語の 7 つの言語で、人間の翻訳によって利用可能になりました。

幼児向けトポロジー入門 – パート1

私は代数トポロジーの分野で博士論文を執筆したので、トポロジーと数論（先月のテーマ）は私にとって非常に身近で大切な数学分野です。トポロジーには楽しくて興味深いテーマがたくさんあるので、あなたやお子さんが博士号取得を目指していなくても十分に楽しめますよ。

トポロジーとは、形状を理解し記述すること、そして2つの形状が同じであると判断する基準を決定することです。例えば、2つの結び目のように、見た目が大きく異なる2つの形状があった場合、それらが同じ形状であるかどうかをどのように判断すればよいのでしょうか？そもそも、それらが同じ形状であるとはどういう意味なのでしょうか？

トポロジーでは、一方の物体を滑らかに曲げたり、伸ばしたり、押しつぶしたりして他方の物体に変形できる場合、2つの物体は同じものとみなされます。典型的な例は、ティーカップとドーナツが同じものであるということです。ティーカップが粘土でできていると考えると、カップのボウル部分を滑らかに変形させたり押しつぶしたりして、取っ手だけになるまで変形させることができます。その時点で、ドーナツができあがります。

位相幾何学は、任意の次元の空間を扱います。この2部構成のシリーズでは、1次元空間と2次元空間について見ていきます。今月は曲線について楽しく学び、来月は曲面について探求します。

単純閉曲線

単純閉曲線とは、始点と終点が接し、自身と交わらない曲線のことです。平面上または球面上（球の表面）におけるこのような曲線の非常に重要な性質は、表面を曲線自体と、曲線の両側の2つの空間という3つの部分に分割することです。ただし、この分割特性はトーラス（ドーナツの表面）では成り立ちません。トーラス上には、穴の周りを回る曲線など、トーラスを2つの部分にしか分割しない単純閉曲線が多数存在します。

調査 – 内部と外部

紙に単純な閉曲線を描いたとします。ある点を選んだとき、その点が曲線の内側にあるのか外側にあるのかを簡単に判断する方法は何でしょうか？曲線が円であれば、それは簡単です。では、2番目の図のような非常に複雑な曲線だとしましょう。曲線の内側にある点は、AとBのどちらでしょうか？

この質問に答えるには、曲線に沿ってぐるぐる回って、点が外側につながっているかどうかを確認することもできます。しかし、もっと簡単な方法があります。点から曲線の外側に向かって線を引いて、曲線を好きなだけ横切って、交差する回数を数えてみてください。どのように線を引いても、交差する回数は偶数だけ異なることがわかります。つまり、すべて奇数かすべて偶数になります。なぜでしょうか？どの交差回数が、点が曲線の内側にあることを示しているのでしょうか？お子さんが発見すべき重要な点は、曲線を横切るたびに、内側と外側の間を移動しているということです。これは、偶数と奇数について学び始めたばかりのお子さんにとって、素晴らしい探究活動になります。

ゲーム – スプラウツ

スプラウツは、曲線の内側と外側を楽しく練習できるゲームです。ゲームは、紙の好きな場所に2つまたは3つの点を置くことから始まります。その後、線分を追加する操作は2種類あります。新しい線が2つの異なる点を結ぶか、線が点と点自身を結ぶかのどちらかです。線は曲線にすることができますが、線自身や他の線と交差することはできません。また、1つの点には3本以上の線が接続することはできません（点から始まり点で終わる線がある場合、その点には2つの接続があるとみなされます）。線を追加すると、新しい点も新しい線の内側のどこかに（両端ではなく）追加されます。最後に正しい線を追加したプレイヤーが勝ちです。

以下は、2つのドットから始まるスプ​​ラウツのゲーム例です。これはWikipediaの記事（リンクは下記参照）から引用したものです。

このゲームを楽しむ子供たちのために、様々なバリエーションが用意されています。また、ゲームを分析する興味深い方法もいくつかあります。参考として、スプラウツに関するWikipediaの記事をご覧ください。

結び目、編み込み、連結

曲線がそれ自体や他の曲線と絡み合う方法は数多く存在する。その中には非常に美しいものもあり、世界の多くの地域で芸術の一形態として扱われている。

3次元および4次元における結び目

結び目は単純な閉じた曲線です。ループの構成要素を滑らかに動かして標準的な円のように見える場合、それは解け結び目と呼ばれます。

紙上の閉じたループはすべて結び目がないはずです。トーラス（ドーナツの表面）やその他のより複雑な2次元曲面上で、閉じた曲線が結び目を形成する可能性があるかどうか調べてみるのも良いでしょう。

4次元以上の空間におけるすべての結び目は、余剰次元を用いて解くことができるため、それらの結び目はすべて単に解けた結び目となります。4次元を時間と考え、時間次元を用いて結び目を解く方法を探ることで、この4次元の概念を子供と一緒に遊んでみましょう。驚くべきことに、3次元を超える空間のこの特性は、位相幾何学者が空間を研究する際に決定的な違いとなります。

2つの結び目が同じかどうかは、どうすればわかるのでしょうか？結び目の図が、実は解けた結び目の図なのかどうかは、どうすればわかるのでしょうか？図が単一のループを示しているのか、複数のループを示しているのかさえ、必ずしも簡単にはわかりません。

基本的な結び目の説明をご覧になりたい場合は、結び目理論に関するWikipediaの記事をご覧ください。そこには、同じ結び目を描いた2つの図が実際に同じであることを示す手順も記載されています。

2つのパズル – ループとつながり

これらのパズルを解くには、位相幾何学者の視点を取り入れることが役立つ。

この最初のパズルは、社交イベントでのアイスブレイクに最適です。まず、参加者を2人1組に分けます。各参加者に長い紐（少なくとも1.2メートル）を渡し、紐の両端を手首にゆるく結んでもらいます（ゆるく結ぶことが重要ですが、これは参加者の快適さのためだと伝えてください）。ただし、準備中は、左の図のように、自分の紐をパートナーの紐の輪に通しておく必要があります。

このパズルのポイントは、紐を切らずに自分たちだけで離れることに挑戦させることです。紐は、相手が輪っかを踏んでしまったり、他の馬鹿げたことをしたくなるような、十分な長さが必要です。

トポロジーの専門家ならご存知の通り、紐が手首にしっかりと固定されている場合、紐と身体は単純なループを形成します。そして、2つの単純なループが繋がっている場合、切断しない限りそれらを切り離すことはできません。したがって、手首での緩やかな接続が不可欠です。次に、これもトポロジーの専門家ならご存知の通り、手首の周りの空間の量は関係ないので、その空間を非常に広くしてください。そうすれば、解決策は明らかになるでしょう。

2つ目のパズルは比較的簡単で、同じ3色の点が2組（各3点ずつ）配置されています。課題は、同じ色の点2点をそれぞれ結ぶ曲線を3本描き、どの曲線も交差しないようにすることです。

6つのドットの配置方法はどれでも構いませんので、お子様にとって少し難易度の高い配置を試してみるのも良いでしょう。配置の可能性を絞り込むには、上から3つのドットをフレームの上部に貼り付けるか、図のように4つのドットをフレームに貼り付ける方法があります。

これらのパズルを解く鍵は、フレームに固定されていない点は好きな場所に移動できるということを理解することです（これもまたトポロジー的な視点です）。ですから、パズルを解きやすい場所に点を移動させて線を描き、線が繋がったまま、必要に応じて線を曲げながら、点をゆっくりと本来あるべき場所に移動させてください。

アート – ループと結び目のパターン

世界中の多くの文化圏では、ループや結び目を巧みに織り込んで、複雑で興味深い模様を作り出す美しい作品が生み出されてきました。この記事はすでに少し長くなってきたので、残りの資料の例へのリンクだけを掲載しておきます。

ケルト結びの模様：まずはウィキペディアの「ケルト結び」のページをご覧ください。

アフリカのルソナ（ソナの複数形）砂絵：ルソナに関するウィキペディアから始めましょう。

ギリ（Girih） – イスラムの結び目模様：まずはウィキペディアのギリに関する項目をご覧ください。

マクラメとタティングの結び方：ウィキペディアにはマクラメとタティングに関する記事がありますが、さまざまな結び方の作り方を紹介するハウツーサイトもたくさんあります。

三つ編み：結び目と同様に、三つ編みにも数学的な理論が存在します。しかし、一般の人にとっては、髪の三つ編みや、ジュエリーネックレスを作るための三つ編みに関する記事の方がずっと楽しめるでしょう。

まとめ（と言ってもいいでしょう）では、お子さんと一緒に曲線やループを使って楽しく遊ぶための新しい方法をいくつかご紹介できたことを願っています。来月はさらに次元を上げて、曲面を使って遊んでみましょう。