2026년 10월

​뉴스

주간 소식 – 2100명이 넘는 교육자들과 함께 무료 주간 이메일을 받아 보세요.

"수학 교사 교육자로서 저는 초등학교 1학년부터 대학생까지 다양한 연령대의 학생들을 정기적으로 가르치고 있는데, 매주 제공되는 '위클리 원더' 퍼즐을 정말 즐겁게 풀고 있습니다. 그래서 모든 시리즈를 신청했어요! 퍼즐에 '유치원~초등학교 2학년'이라고 표시되어 있을 수도 있지만, 모든 연령대가 재미있게 풀 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 유치원생도 도전해 볼 수 있을 만큼 난이도가 적당하거든요. 각 학년 수준 간의 연관성도 훌륭하고, 매주 새로운 주제가 등장합니다. 퍼즐을 재미있게 푼 학생은 스스로 확장된 문제를 만들어 볼 수도 있어요. 여러분의 학생이나 선생님께 꼭 한번 도전해 보세요!" - 존 골든, GVSU 수학과 교수

파충류

아이들이 작은 도형으로 큰 도형을 채우는 것을 재미있게 탐구할 수 있는 방법은 많습니다. 일반적으로 이러한 도형은 다각형이지만, 꼭 다각형일 필요는 없습니다.

어린 아이들은 패턴 블록을 사용하여 다양한 무늬와 자유로운 형태를 만들 수 있습니다. 큰 삼각형이나 육각형을 패턴 블록으로 채우는 방법의 수를 세는 것과 같은 기술적인 과제를 수행할 수도 있습니다. 탱그램이나 펜토미노를 사용해서도 비슷한 활동을 할 수 있습니다. 한 가지 이상의 도형으로 평평한 표면을 채우는 것(테셀레이션)도 좋은 활동입니다. 저는 2024년 12월 뉴스레터 에서 이러한 주제들을 다룬 적이 있습니다.

이번 뉴스레터에서는 같은 도형을 더 작은 복제본으로 채울 때 어떤 일이 일어나는지 살펴보려고 합니다. 이렇게 하는 것이 가능한 도형을 "렙타일(rep-tile)"이라고 부릅니다. 수학자들의 독특한 유머 감각을 인정하지 않을 수 없네요. 위 사진은 스핑크스 렙타일로, 스핑크스 복제본 네 개가 도형을 채우고 있습니다.

파충류 타일의 경우, 규칙적인 타일링 은 모든 도형의 크기가 같은 것이고, 불규칙적인 타일링은 규칙적이지 않은 것이며, 완벽한 타일링 은 불규칙적인 타일링 중에서 크기가 같은 도형이 하나도 없는 것입니다.

우리는 조각들의 크기가 서로 정수배인, 어린이에게 적합한 예시만 살펴볼 것입니다.

정의와 설명은 이쯤 하고, 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

정사각형, 직사각형, 정삼각형

파충류 타일을 채우는 것에 대한 재미있는 질문들이 많이 있습니다. 이 중 상당수는 이미 EFM 주간 퍼즐로 다뤄졌습니다. 또한 정사각형 안에 직사각형을 채우거나, 직사각형 안에 정사각형을 채우는 것과 같이 조금 더 어려운 문제도 살펴보겠습니다.

주제 1: 정사각형을 정사각형으로 채우면 가능한 정사각형의 개수는 몇 개일까요? 규칙적인 배열, 불규칙적인 배열, 그리고 완벽한 배열의 경우 어떤 결과가 나타날까요?

불규칙한 타일링에서 정사각형이 몇 개나 나타날 수 있는지에 대한 문제는 EFM 퍼즐 " 정사각형으로 정사각형 채우기 "입니다. 어린아이도 이해할 수 있지만, 퍼즐을 풀려면 조금 더 큰 아이의 인내심과 끈기가 필요하거나, 적어도 어른의 도움을 받아야 합니다. 완벽한 타일링은 찾기가 매우 어렵습니다. 정사각형의 모든 정규 타일링은 직접 조사해 보세요.

주제 2: 정삼각형을 이러한 삼각형들로 채우면 가능한 삼각형의 개수는 몇 개입니까? 정삼각형, 불규칙 삼각형, 그리고 완벽한 삼각형으로 채우는 경우 어떤 결과가 나타납니까?

다소 놀랍게도, 이는 1번 주제에서 다룬 정사각형의 경우와 매우 유사합니다. 정삼각형이 몇 개나 나타날 수 있는지에 대한 문제는 EFM 퍼즐인 " 삼각형 안에 삼각형 채우기 " 에 해당합니다.

주제 3: 정사각형으로 채워진 직사각형 그림이 주어졌을 때, 각 정사각형의 크기를 알아낼 수 있습니까?

정사각형이나 직사각형을 크기가 다른 정사각형들로 완벽하게 채우는 방법(완벽한 타일링)을 찾는 것은 누구에게나 매우 까다로울 수 있습니다. 이 주제에 대한 훌륭한 자료 몇 가지를 소개합니다. 위키피디아의 " 정사각형 나누기(Squaring the Square )" 항목에는 정사각형을 나누는 다양한 방법에 대한 그림, 설명 및 참고 자료가 풍부하게 담겨 있습니다. 더욱 다양한 아이디어를 얻고 싶다면 " Squaring.net "을 방문해 보세요. 상상 이상으로 많은 아이디어를 접할 수 있을 것입니다.

하지만 기존 도면을 이용해 정사각형의 크기를 알아내는 것은 그리 어렵지 않으며 재미있는 퍼즐이 될 수 있습니다. 이러한 퍼즐의 두 가지 예시는 EFM 주간 퍼즐 " 완벽한 직사각형 - 1 "과 " 완벽한 직사각형 - 2 " 에서 확인할 수 있습니다.

주제 4: 가장 큰 직사각형과 가장 작은 직사각형의 면적 차이를 최소화하는 방식으로 정사각형을 직사각형으로 채울 수 있을까요? 이것은 고든 해밀턴이 만든 몬드리안 아트 퍼즐입니다.

이 문제는 EFM 퍼즐 " 다양한 상자로 사각형 채우기 "입니다. 이 퍼즐의 재미있는 점은 언제든 다시 돌아와서 이전에 풀었던 내용을 개선할 수 있는지 확인할 수 있고, 다른 사람들과 아이디어를 논의할 여지도 많다는 것입니다.

더 많은 파충류

이제 좀 더 독특한 파충류 타일들을 가지고 놀아볼 시간입니다. 파충류 타일의 모양은 너무나 다양해서 대표적인 몇 가지만 소개하기는 어렵습니다. 아래에는 아이들이 쉽게 다룰 수 있는 몇 가지 예시를 소개합니다. 더 많은 종류를 보려면 위키피디아의 " 파충류 타일 " 페이지를 참고하세요. 파충류 타일은 저에게 비교적 새로운 주제이기 때문에, 아래 문제들은 EFM 주간 퍼즐 모음에는 포함되지 않았습니다.

주제 5: 3칸짜리 L자 모양 안에 더 작은 L자 모양을 채워 넣으면 만들 수 있는 L자 모양의 개수는 몇 개입니까?

세 변으로 이루어진 L자 모양의 가능한 경우의 수를 세는 것은 1단원과 2단원에서 다룬 정사각형과 삼각형을 세는 것보다 조금 더 까다롭습니다. 위의 그림을 보여주기 전에 아이가 직접 만들어보도록 하세요.

이 그림들을 보면 1, 4, 9 모두 가능한 수라는 것을 알 수 있습니다. 4를 예로 들면, L자 모양 하나를 4개로 대체할 수 있습니다. 즉, 1 + 3n 형태의 모든 수가 가능하다는 뜻입니다. 마찬가지로 9를 예로 들면, 1 + 8m 형태의 모든 수가 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 이 두 가지를 결합하면 1 + 3n + 8m 형태의 모든 수가 가능하다는 결론에 도달합니다. 아이에게 타일링에 더 이상 빈칸이 없을 때 가장 먼저 나올 수 있는 숫자가 무엇인지 물어보세요. 이 문제는 흔히 '치킨 맥너겟 문제'라고 불립니다.

주제 6: 4칸짜리 L자 모양 안에 더 작은 L자 모양을 채워 넣으면 만들 수 있는 L자 모양의 개수는 몇 개일까요? 다음은 세 가지 예시입니다.

주제 7: 가로세로 2인치 정사각형 위에 가로세로 1인치 정사각형을 얹은 5칸짜리 유타 모양에 더 작은 유타 모양을 채워 넣으면 만들 수 있는 유타 모양의 개수는 몇 개입니까?

주제 8: 모든 삼각형은 파충류 타일입니다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 모든 삼각형의 중점을 연결하여 삼각형을 네 개의 더 작은 삼각형으로 나누는 것입니다.

다음은 두 변의 길이가 정수인 직각삼각형인 렙타일의 두 가지 예입니다. 첫 번째 줄의 삼각형은 변의 길이가 1 – sqrt(3) – 2이고, 두 번째 줄의 삼각형은 변의 길이가 1 – 2 – sqrt(5)입니다. 이 외에도 흥미로운 타일링을 만들 수 있는 직각삼각형이 있지만, 일반적으로 이는 초등학생이 배우기에는 너무 전문적인 내용입니다.

마무리

이 파충류 모양 타일을 가지고 재미있게 놀았기를 바라며, 앞으로 파충류 모양 타일이 제공하는 다른 가능성들도 탐구해 보시길 바랍니다. 다음 뉴스레터에서는 종이를 접거나, 자르거나, 엮는 다양한 방법을 통해 재미있는 모양을 만드는 방법을 소개할 예정입니다. 여러분과 함께 이러한 주제들을 자세히 살펴보고 탐구해 볼 수 있기를 기대합니다!