이번 주 퍼즐

도전 과제

학생들은 4의 배수와 7의 배수를 더해서 만들 수 있는 모든 수를 실험하고 있습니다. 이들은 아무런 설명 없이도 베주 정리(Bezout's Theorem)를 탐구하고 있는 것입니다. 베주 정리는 두 수의 배수(양수와 음수 모두)로 만들 수 있는 모든 조합이 두 수의 최대공약수의 배수로 만들 수 있는 모든 조합과 같다는 정리입니다. 4와 7의 최대공약수는 1이므로, 가능한 모든 수를 만들 수 있습니다. 게다가 각각의 수를 만드는 방법은 무수히 많습니다.

다음은 1부터 12까지의 숫자에 대한 몇 가지 예입니다.

• 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
• 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
• 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
• 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
• 5 = 3 x 4 – 7
• 6 = 2 x 7 – 2 x 4
• 7 = 7
• 8 = 2 x 4
• 9 = 3 x 7 – 3 x 4
• 10 = 2 x 7 – 4
• 11 = 4 + 7
• 12 = 3 x 4

최대공약수의 조합을 알게 되면, 이를 이용하여 최대공약수의 배수를 얼마든지 구할 수 있습니다. 예를 들어 4와 7의 경우, 1을 구하는 한 가지 방법은 2 x 4 – 7입니다. 23과 같은 다른 수 역시 23 = 23(2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7로 계산할 수 있습니다. 어떤 수에 대한 하나의 해를 구했다면, 나머지 해는 모두 그 수에 0을 더하는 방식으로 구할 수 있습니다. (좀 이상하게 들릴 수도 있지만요.) 예를 들어 1은 2 x 4 – 7이므로 (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7입니다. (7 x 4 – 4 x 7)에 어떤 배수를 더하더라도 값은 변하지 않습니다.

탐사

위에서 언급했듯이, 이 과정은 두 수의 최대공약수의 모든 배수를 정확하게 생성합니다. 최대공약수가 1이면 모든 숫자가 생성됩니다.

예를 들어 4와 6을 생각해 보세요. 이들의 최대공약수는 2입니다. 4와 6의 배수를 더하면 항상 짝수가 되므로 모든 수를 만들 수는 없습니다. 4와 6을 2 곱하기 2와 3으로 생각하면 더 명확해집니다. 2와 3의 배수를 더하면 모든 수가 된다는 것을 알고 있죠. 왜냐하면 2와 3은 서로소이기 때문입니다. 하지만 4와 6을 더하면 각각의 더한 값에 2를 곱하게 되므로 모든 수가 2의 배수가 되는 것입니다!