정사각형 찾기 – 1
이 격자에서 빨간색으로 표시된 부분은 가로세로 각각 1cm 크기의 정사각형 두 개와 세로로 각각 2cm 크기의 정사각형 한 개입니다.
도전 과제
이 격자에서 가로 변과 세로 변을 가진 모든 크기의 정사각형의 개수를 찾으세요.
탐사
더 큰 격자를 가지고 놀아보세요. 모든 정사각형을 체계적으로 세는 방법을 찾을 수 있을까요? 점으로 이루어진 격자가 정사각형이 아닌 직사각형이라면 답은 어떻게 달라질까요?
노트
도전 과제
가능한 정사각형의 변의 길이는 1부터 4까지입니다.
각 정사각형 크기에 대해, 왼쪽 위 모서리를 시작 위치로 생각하세요. 이 시작 정사각형을 움직여서 해당 크기의 모든 정사각형을 만들 수 있습니다. 시작 정사각형을 오른쪽으로 이동하거나 남은 칸 수만큼 아래로 이동시킬 수 있습니다. 이 두 선택은 독립적이므로, 결과적으로 모든 정사각형을 만들 수 있습니다. 그 크기의 정사각형의 제곱.
예를 들어, 이 4x4 격자에서 1x1 정사각형을 세고 있다고 가정해 봅시다. 왼쪽 위 모서리에 있는 1x1 정사각형은 오른쪽으로 1 또는 2칸, 아래로 1 또는 2칸 이동할 수 있습니다. 따라서 원래 위치를 포함하여 가로 방향으로 3가지 위치, 세로 방향으로 3가지 위치가 가능합니다. 그러므로 이러한 1x1 정사각형은 총 3x3개가 있습니다.
원래의 4x4 격자 문제의 경우, 다음과 같은 개수를 얻을 수 있습니다.
- 1x1 정사각형: 3 x 3 = 9
- 2x2 정사각형: 2 x 2 = 4
- 3x3 정사각형: 1 x 1 = 1.
가능한 정사각형의 수는 총 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14개입니다.
탐사
정사각형 격자의 경우, 전체 정사각형의 개수는 격자 크기보다 작은 각 정사각형의 개수를 모두 더한 값과 같습니다. 예를 들어, 7x7 격자는 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91개의 정사각형으로 구성됩니다.
직사각형 격자도 세기가 거의 비슷합니다. 직사각형의 두 변 중 더 작은 변의 길이가 가능한 정사각형의 최대 크기를 제한합니다. 정사각형 격자의 경우와 비슷한 방식으로 세면 됩니다. 일반적인 경우를 살펴보는 대신, 간단한 예시를 하나 들어 보겠습니다.
5x7 격자의 칸 수를 세고 있다고 가정해 봅시다. 행이 5개뿐이므로 어떤 칸도 4x4보다 클 수 없습니다.
- 1x1 정사각형: 4 x 6 = 24
- 2x2 정사각형: 3 x 5 = 15
- 3x3 정사각형: 2 x 4 = 8
- 4x4 정사각형: 1 x 3 = 3
정사각형의 총 개수는 24 + 15 + 8 + 3 = 50개입니다.