합이 안 맞는 무당벌레들 – 2
번호가 매겨진 무당벌레 두 마리가 잎 두 장에 앉아 있습니다. 규칙은 다음과 같습니다. 잎에 있는 두 무당벌레의 점의 개수를 더해도 같은 잎에 있는 다른 무당벌레의 점의 개수와 같을 수 없습니다. 왼쪽 잎은 규칙에 맞지만, 오른쪽 잎에는 2 + 4 = 6이 됩니다.
도전 과제
1부터 시작해서 숫자를 세어가며, 각 잎에 대한 규칙을 준수하면서 숫자가 적힌 무당벌레를 세 장의 잎에 얼마나 높이까지 붙일 수 있을까요?
탐사
짝수만 사용하면 어떻게 달라질까요? 홀수만 사용하면 어떻게 달라질까요? 잎을 세 개 이상 사용하면 어떻게 될까요?
노트
도전과 탐험
잎이 세 개라면 두 개보다 정리하기가 훨씬 더 까다롭습니다.
이 문제는 복잡한 부분이 많지만, 잎에 숫자를 넣는 두 가지 간단한 방법이 있는데, 놀라울 정도로 효과적입니다. 1) 2의 거듭제곱을 잎에 넣는 방법(1, 2, 4, 8, 16…)과 2) 어떤 숫자부터 시작해서 그 숫자의 두 배까지 연속된 숫자를 모두 넣는 방법(5, 6, 7, 8, 9, 10)입니다.
두 개의 잎에 대한 최적의 답인 (1 2 4 8) – (3 5 6 7)을 선택한 다음 세 번째 잎에 다음 숫자를 붙일 수 있습니다: (1 2 4 8) – (3 5 6 7) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18). 이렇게 좋은 시작을 한 후, 처음 두 잎에 몇 개의 숫자를 더 붙일 수 있습니다: (1 2 4 8 22) – (3 5 6 7 19 20 21) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18).
22까지 올라가는 그 답은 놀랍도록 최적해에 가깝습니다. 최적해가 무엇인지 확실히 알기 위해서는 컴퓨터 프로그램을 작성하거나 "합이 없는 집합" 또는 "합이 없는 분할"에 대한 수학 문헌을 참고해야 합니다. 문헌에서 23에 대한 다음 답을 찾을 수 있는데, 이는 이전 답에서 몇 가지 변경 사항(11과 16의 위치 변경)만 있습니다. (1 2 4 8 11 16 22) (3 5 6 7 19 21 23) (9 10 12 13 14 15 17 18 20).
잎이 네 개인 경우에 대한 가장 적절한 답은 66까지이며, 다음과 같습니다: (1 2 4 8 11 16 22 25 40 43 53 66) (3 5 6 7 19 21 23 34 35 50 51 52 63 64 65) (9 10 12 13 14 15 17 18 20 54 55 56 57 58 59 60 61 62) (24 26 27 28 29 30 31 32 33 36 37 38 39 41 42 44 45 46 47 48 49). 잎이 세 개인 경우에 대한 첫 번째 답을 구할 때 사용했던 것과 같은 전략을 사용하면 이 답에 놀라울 정도로 근접한 값을 얻을 수 있습니다.
나뭇잎이 다섯 개일 때 가장 적절한 답은 196입니다. 나뭇잎이 여섯 개일 때 가장 적절한 답은 아직 밝혀지지 않았습니다! 아마도 여러분의 학생 중 한 명이 이 문제를 가지고 재미있게 놀면서 멋진 답을 생각해낼지도 모릅니다!
짝수를 다룰 때는 이전 값들을 모두 두 배로 하면 됩니다. 짝수에 대한 최적해는 보통수에 대한 최적해의 두 배가 됩니다.
홀수는 모두 한 잎에 적을 수 있으므로 잎이 세 개라고 해서 큰 차이가 있는 것은 아닙니다.