आठवड्याची कोडी

आव्हान

विद्यार्थी ४ च्या कोणत्याही पटीत ७ ची कोणतीही पट मिळवून तयार होणाऱ्या सर्व संख्यांवर प्रयोग करत आहेत. हे न सांगता, ते बेझूटच्या प्रमेयाचा अभ्यास करत आहेत. ते प्रमेय सांगते की, दोन संख्यांच्या पटींचे (धन आणि ऋण दोन्ही) सर्व संभाव्य संयोग म्हणजे त्या दोन संख्यांच्या महत्तम सामाईक अवयवाच्या (भाजकाच्या) पटींचा संच होय. ४ आणि ७ चा महत्तम सामाईक अवयव १ आहे, त्यामुळे आपल्याला सर्व संभाव्य संख्या मिळायला हव्यात. इतकेच नव्हे, तर प्रत्येक संख्या मिळवण्याचे अनंत मार्ग असतील.

येथे १ ते १२ पर्यंतच्या संख्यांची काही उदाहरणे दिली आहेत:

• 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
• 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
• ३ = ७ – ४ = ५ x ७ – ८ x ४ = ९ x ७ – १५ x ४
• 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
• १० = २ x ७ – ४
• ९ = ३ x ७ – ३ x ४
• 7 = 7
• 8 = 2x4
• ९ = ३ x ७ – ३ x ४
• १० = २ x ७ – ४
• १२ = १० + २
• 12 = 3x4

एकदा तुम्हाला महत्तम सामाईक अवयवाचे (greatest common factor) समीकरण मिळाले की, तुम्ही त्याचा वापर करून महत्तम सामाईक अवयवाचा कोणताही पटी मिळवू शकता. ४ आणि ७ साठी, १ मिळवण्याचा एक मार्ग म्हणजे २ x ४ – ७ असे करणे. आपण २३ = २३ (२ x ४ – ७) = ४६ x ४ – २३ x ७ असे लिहून २३ सारखी कोणतीही दुसरी संख्या मिळवू शकतो. एकदा आपल्याला एखाद्या संख्येचे एक उत्तर मिळाले की, आपण त्यात ० मिळवून इतर सर्व उत्तरे मिळवू शकतो (मला माहित आहे की हे विचित्र वाटते). उदाहरणार्थ, आपल्याकडे १ = २ x ४ – ७ = (२ x ४ – ७) + (७ x ४ – ४ x ७) = ९ x ४ – ५ x ७ आहे. आपण (७ x ४ – ४ x ७) ची कोणतीही पट मिळवू शकतो आणि त्यामुळे मूल्य बदलणार नाही.

अन्वेषण

वर नमूद केल्याप्रमाणे, या प्रक्रियेमुळे दोन संख्यांच्या महत्तम सामायिक अवयवाचे (GCF) सर्व पटी मिळतील. जर तो GCF १ असेल, तर सर्व संख्या मिळतील.

उदाहरणार्थ ४ आणि ६ घ्या. त्यांचा मसावि २ आहे. ४ आणि ६ च्या पटींची कोणतीही बेरीज नेहमी समच असते, त्यामुळे प्रत्येक संख्या मिळवणे अशक्य आहे. जर तुम्ही ४ आणि ६ ला २ गुणिले २ आणि ३ असे पाहिले, तर हे अधिक स्पष्ट होते. तुम्हाला माहित आहे की २ आणि ३ च्या पटींची बेरीज केल्यास सर्व संख्या मिळतात, कारण त्या परस्पर मूळ संख्या आहेत. तथापि, ४ आणि ६ त्या प्रत्येक बेरजेला २ ने गुणतील, म्हणूनच तुम्हाला २ च्या सर्व पटी मिळतील!