Rechthoeken vermijden – 2
De kruisjes in een raster kunnen de hoeken vormen van rechthoeken met horizontale en verticale zijden. De kruisjes in dit eerste raster vormen twee rechthoeken. Het doel is echter om te voorkomen dat er rechthoeken ontstaan. De kruisjes in het tweede raster zijn zo geplaatst dat er geen rechthoeken worden gevormd.
DE UITDAGING
Plaats zoveel mogelijk X'en in dit 4x4 raster en vermijd het maken van rechthoeken.
EXPLORATION
Wat is het maximale aantal elementen dat je kunt gebruiken voor andere rasterformaten? Zie je patronen in je antwoorden?
Notes
DE UITDAGING
Het oplossen van dit probleem is over het algemeen een zeer lastig, nog onopgelost probleem in de wiskunde. Dat zou een student er echter niet van moeten weerhouden om ermee te experimenteren en gaandeweg veel interessante dingen te leren.
Stel dat het raster m rijen en n kolommen heeft. In Avoiding Rectangles – 1 vonden we de volgende resultaten voor de beste antwoorden.
1e en 2e rij: We hadden m + n – 1 X'en
3 rijen: We hadden m + n X'en, gebaseerd op een startdiagram voor een 3x3-raster dat er als volgt uitzag. Als we 3 rijen met meer kolommen zouden hebben, kunnen we gewoon een enkele X in elke nieuwe kolom toevoegen.
Het geval met 3 bij 3 vereiste een andere aanpak dan de strategie met 1 en 2 rijen, en het is verleidelijk om te denken dat de voorbeelden met 4 of meer rijen ook een nieuwe denkwijze vereisen. Om het voor de hand liggende te benadrukken: we willen een verzameling kolommen creëren die nooit een paar rijen delen die een X bevatten.
Een strategie is om alles in de meest linkse kolom in te vullen, behalve het onderste vakje. De overige kolommen krijgen dan één X in de onderste rij en één X in een andere rij. Dit werkt altijd en levert (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X'en op voor een rooster van m bij m. Deze methode om het vierkant in te vullen kan vervolgens worden uitgebreid (door in elke nieuwe kolom een enkele X toe te voegen) naar roosters met m rijen, wat resulteert in 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X'en, wanneer m < n. Deze formule werkt tot nu toe voor alle antwoorden voor roosters van elke grootte (met meer dan één rij).
EXPLORATION
Als je online naar de beste antwoorden zoekt, zie je dat je 12 keer kunt kruisen voor het geval van 5 bij 5 (wat je kunt bereiken met behulp van het patroon), en vervolgens 16 keer voor het geval van 6 bij 6 (zoals hier weergegeven).
Daarna volgen de getallen, beginnend bij 7 bij 7, in volgorde: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 en 122. Wiskundigen hebben veel interessante onderzoeken gedaan naar hoe deze getallenreeksen werken, en ook uw wiskundigen kunnen er veel plezier aan beleven!
