Gelijke sommen – 2
DE UITDAGING
Hier is een diagram gemaakt door drie cirkels over elkaar heen te leggen. De overlappende cirkels vormen zes gebieden. Plaats een getal in elk van de zes gebieden, waarbij je elk getal van 1 tot en met 6 precies één keer gebruikt, zodat de som van de getallen in elke cirkel gelijk is.
EXPLORATION
Hoeveel verschillende antwoorden kun je vinden? Hoe weet je dat je ze allemaal gevonden hebt?
Notes
DE UITDAGING & VERKENNING
Hier zijn de vier oplossingen. Om te zien waarom dit de enige oplossingen zijn, laten we A, B en C de drie gebieden zijn waar twee cirkels elkaar snijden, en laat Sum de gemeenschappelijke som van de drie cirkels zijn. Bereken de totale som op twee manieren. Als de som van de drie cirkels is de som 3 x Sum. Als de som van alle zes getallen plus A, B en C is de som 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. De twee zijn gelijk, dus dat geeft ons 3 x Sum = 21 + A + B + C. Delen door 3 geeft Sum = 7 + (A + B + C)/3.
Om ervoor te zorgen dat Sum in deze laatste vergelijking een geheel getal is, moet A + B + C deelbaar zijn door 3. Dit laat slechts vier mogelijkheden over voor A + B + C: 6, 9, 12 of 15, en de bijbehorende waarden voor Sum zijn 9, 10, 11 of 12.
De vier hier gegeven oplossingen hebben een som van 9, 10, 11 en 12. Zoals we zullen zien, zijn dit alle oplossingen!
Om wat werk te besparen, merk op dat als we één oplossing nemen en alle waarden van 7 aftrekken, we een andere oplossing krijgen. Merk ook op dat de nieuwe oplossing een somwaarde heeft die gelijk is aan 21 – (oude som). De oplossingen voor somwaarden 9 en 10 geven ons dus de oplossingen voor somwaarden 11 en 12.
Als A + B + C = 6, dan zijn A, B en C gelijk aan 1, 2 en 3, en is de som gelijk aan 9. Dat is de oplossing linksboven.
Als A + B + C = 9, dan is de som gelijk aan 10 en (A, B, C) is (1, 2, 6), (1, 3, 5) of (2, 3, 4). Als je dit controleert, zijn (1, 2, 6) en (2, 3, 4) onmogelijk. Dit laat de oplossing rechtsboven over als enige oplossing waarbij de som gelijk is aan 10.
Als je "Gelijke Sommen - 2" vergelijkt met "Magische Driehoeken - 1", zul je zien dat het dezelfde puzzel is!