Vierkanten vinden – 2
In dit raster zijn in het rood twee vierkanten van 1 bij 1 en één vierkant van 2 bij 2 getekend, met horizontale en verticale zijden.
DE UITDAGING
Bepaal het aantal vierkanten van alle groottes en oriëntaties in dit raster. In tegenstelling tot wat in de inleiding wordt getoond, zullen niet al deze vierkanten horizontale en verticale zijden hebben!
EXPLORATION
Experimenteer met grotere roosters en met roosters die geen vierkanten zijn.
Notes
DE UITDAGING
De mogelijke vierkanten met horizontale en verticale zijden hebben zijlengtes van 1 tot en met één minder dan het aantal rijen/kolommen.
Voor elke vierkantgrootte beschouw je de linkerbovenhoek als startpositie. Je kunt alle vierkanten van deze grootte in het raster maken door dit startvierkant te verschuiven. Je kunt ervoor kiezen om het naar rechts of naar beneden te verplaatsen over het resterende aantal posities. Deze keuzes zijn onafhankelijk van elkaar, dus je krijgt... in het kwadraat van dat vierkant.
Stel bijvoorbeeld dat je vierkantjes van 2 bij 2 telt in dit raster van 5 bij 5. Een vierkantje van 2 bij 2 in de linkerbovenhoek kan 1 of 2 vakjes naar rechts en 1 of 2 vakjes naar beneden worden verschoven. Er zijn dus 3 mogelijke posities horizontaal (de oorspronkelijke positie meegerekend) en 3 mogelijke posities verticaal. Daardoor zijn er 3 x 3 van deze vierkantjes van 1 bij 1.
Voor het oorspronkelijke probleem met het 5x5 raster levert dit het volgende aantal vierkanten op met horizontale en verticale zijden:
- 1 bij 1 vierkanten: 4 x 4 = 16
- 2 bij 2 vierkanten: 3 x 3 = 9
- 3 bij 3 vierkanten: 2 x 2 = 4
- Vierkanten van 4 bij 4: 1 x 1 = 1.
Er zijn in totaal 16 + 9 + 4 + 1 = 30 mogelijke vierkanten met horizontale en verticale zijden.
De truc voor de resterende vierkanten is om georganiseerd te blijven tellen. Ik zal een vierkant beschrijven aan de hand van de functie van een van de zijden. Bijvoorbeeld een vierkant met een zijde die één naar rechts en één omhoog loopt, of een vierkant met een zijde die twee naar rechts en één omhoog loopt – dit zijn twee van de vierkanten die in deze illustratie te zien zijn.
Als we, zoals eerder, tellen door te schuiven, krijgen we:
- 1 naar rechts & 1 omhoog: 3 x 3 = 9
- 2 naar rechts & 1 omhoog: 2 x 2 = 4
- 3 naar rechts & 1 omhoog: 1 x 1 = 1
- 2 naar links & 1 omhoog: 2 x 2 = 4
- 3 naar links & 1 omhoog: 1 x 1 = 1
- 2 naar rechts en 2 omhoog: 1 x 1 = 1
Het totaal is dus: 30 (van eerder) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
EXPLORATION
Je kunt andere maten ontdekken door een gestructureerd telsysteem te vinden!