Fylle trekanter med trekanter
En regulær trekant er en der alle sider og vinkler er like (den er likesidet og likevinklet). Slik fyller du en stor regulær trekant med 1, 4 eller 7 regulære trekanter.
UTFORDRINGEN
Finn andre tellinger for vanlige trekanter for å fylle en stor vanlig trekant. Kan du gjøre det for 2, 3, 5, 6, 8, 9 eller 10 vanlige trekanter?
UTFORSKNING
Når det er mulig, finn mer enn én måte å få tak i noen av disse tallene på.
Merknader
UTFORDRINGEN
Her er en systematisk måte å bygge opp ulike tellinger på.
Kvadrater: Et godt sted å starte er med kvadrattall. Det er enkelt å fylle en trekant med 1, 4 og 9 trekanter ved å fylle den med det vanlige mønsteret som brukes i illustrasjonen nedenfor.
Partall: Etter litt eksperimentering kan du lage mønstre for 6, 8, 10 eller et hvilket som helst annet større partall som følger. Start med en stor trekant og plasser deretter mindre trekanter langs den ene siden.
Erstatte én trekant: Det neste store steget er å se at en hvilken som helst trekant i en løsning kan erstattes av en hvilken som helst annen eksisterende løsning. For eksempel ble dette gjort da mønsteret for 7 ble laget i innledningen – trekanten i midten for «4» ble erstattet med fire mindre trekanter for å lage «7».
Når én trekant erstattes av fire trekanter, vil det totale antallet trekantede tall øke med 3. Start med listen over løsninger ved hjelp av kvadrattall og partall: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 og 16, og legg deretter til 3 til hver oppføring på listen for å få 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 og 17. Ved å kombinere disse to listene får du alle mulighetene opp til 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 og 17. Ved å bruke disse ideene er hvert tall over 17 enkelt nok, og dermed kommer vi til konklusjonen at:
Svar: Alle tall er mulige unntatt 2, 3 og 5.
UTFORSKNING
Noen av disse tallene kan produseres på mer enn én måte. For eksempel kan 9 gjøres som et 3 ganger 3-mønster eller som 6 pluss tre til. Selvfølgelig finnes det andre interessante måter å fylle ut en trekant på.