Marihøner som ikke legger seg – 2
Nummererte marihøner lander på to blader. Regelen er: antallet prikker på to marihøner på et blad kan ikke legges opp til antallet prikker på en annen marihøne på det bladet. Bladet til venstre er greit, men bladet til høyre har 2 + 4 = 6.
UTFORDRINGEN
Hvor høyt kan du gå ved å plassere de nummererte marihønene på tre blader mens du følger regelen for hvert av bladene, fra 1 til oppover?
UTFORSKNING
Hvordan endrer ting seg hvis du bare bruker partall? Hvordan endrer ting seg hvis du bare bruker oddetall? Hva skjer hvis du bruker mer enn tre blader?
Merknader
UTFORDRINGEN OG UTFORSINGEN
Tre blader er mye vanskeligere å håndtere på en organisert måte enn to blader.
Selv om det er mye som er komplekst ved dette problemet, finnes det to enkle måter å sette tall i et blad på som er overraskende kraftige: 1) sett potensene av 2 på bladet (1 2 4 8 16 …) og 2) start med et tall, sett alle de påfølgende tallene opp til det dobbelte av det tallet (5 6 7 8 9 10).
Vi kan også ta det beste svaret for to blader, (1 2 4 8) – (3 5 6 7), og deretter sette de neste tallene på det tredje bladet: (1 2 4 8) – (3 5 6 7) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18). Etter den gode starten kan vi sette noen flere tall på de to første bladene: (1 2 4 8 22) – (3 5 6 7 19 20 21) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18).
Det svaret, som går opp til 22, er overraskende nær det beste svaret. For å vite sikkert hva det beste mulige svaret er, må du enten skrive et dataprogram, eller du kan konsultere matematikklitteraturen om «sumfrie mengder» eller «sumfrie partisjoner». I litteraturen finner du følgende svar på 23, som bare har et par endringer (flytting av 11 og 16) fra det tidligere svaret: (1 2 4 8 11 16 22) (3 5 6 7 19 21 23) (9 10 12 13 14 15 17 18 20).
Det beste svaret for fire blader går opp til 66 og er: (1 2 4 8 11 16 22 25 40 43 53 66) (3 5 6 7 19 21 23 34 35 50 51 52 63 64 65) (9 10 12 13 14 15 17 18 20 54 55 56 57 58 59 60 61 62) (24 26 27 28 29 30 31 32 33 36 37 38 39 41 42 44 45 46 47 48 49). Du kan komme overraskende nær dette svaret ved å bruke samme strategi som vi brukte for å få et første svar for tre blader.
Det beste svaret for fem blader går opp til 196. Det er et uløst problem hva det beste svaret er for seks blader! Kanskje en av elevene dine vil ha det gøy med å leke med dette og komme opp med et godt svar!
Å jobbe med partall handler rett og slett om å doble alt fra før. Det beste svaret for partall vil være dobbelt så bra som det beste svaret for vanlige tall.
Oddetallene kan alle plasseres på ett blad, så det spiller ikke så stor rolle for dem å ha tre blader.