Łamigłówki tygodnia

WYZWANIE I EKSPLORACJA

Można się tym bawić i czerpać z tego ogromną przyjemność, używając kartki papieru milimetrowego i obserwując, co się stanie. Można też podejść do tego bardziej systematycznie i rygorystycznie.

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że rozmiar stołu nie jest tak ważny, jak jego kształt. Każdy prostokąt podobny do innego (o takim samym stosunku długości boków) da ten sam rezultat. Zatem stół o wymiarach 3 na 4 będzie taki sam, jak stół o wymiarach 6 na 8 i stół o wymiarach 9 na 12.

Przydatnym ćwiczeniem na tym etapie będzie zebranie wyników tego, co się dzieje dla tabel 1 na n i 2 na n.

• 1 na n: Piłka odbije się n – 1 razy i wyląduje w prawym dolnym rogu, jeśli n jest liczbą parzystą, lub w prawym górnym rogu, jeśli n jest liczbą nieparzystą.
• 2 na n: Jeśli n = 2k, to tabela 2 na 2k zachowuje się jak tabela 1 na k (ponieważ są podobne). W tabeli 2 na (2k + 1) jest n odbić, a piłka ląduje w lewym górnym rogu.

Po dalszych eksperymentach pojawił się ogólny wynik!

Wynik

Jeśli k i n nie mają wspólnych czynników, to stół ak na n będzie miał k + n – 2 odbicia. Piłka wyląduje w lewym górnym rogu, jeśli k jest parzyste. Jeśli k jest nieparzyste, piłka wyląduje w prawym górnym rogu, jeśli n jest nieparzyste, i w prawym dolnym rogu, jeśli n jest parzyste. Jeśli k i n mają wspólne czynniki, należy podzielić te czynniki i zastosować ten wynik do zredukowanych liczb.

Sprytnym sposobem, aby to łatwiej zrozumieć, jest „rozłożenie” odbić. Stwórz siatkę stołów, jak na zdjęciu, i pozwól piłce przelecieć po linii prostej przez wszystkie blaty!