Zepsuty kalkulator – 1
Masz kalkulator, który jest mocno zepsuty. Jego jedyne działające klawisze to 4, 7, + i -. Nawet z tą ograniczoną funkcją, można na nim wygenerować dowolną liczbę. Na przykład:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
WYZWANIE
Pokaż, że ten kalkulator potrafi wyliczyć wszystkie liczby od 1 do 12.
POSZUKIWANIE
Zastąp 4 i 7 innymi parami liczb. Kiedy możliwe jest znalezienie wszystkich liczb od 1 do 12, a kiedy jest to niemożliwe? Czy potrafisz spojrzeć na parę liczb i przewidzieć, co się stanie?
Komentarz
WYZWANIE
Uczniowie eksperymentują ze wszystkimi liczbami, które można uzyskać, dodając dowolną wielokrotność 4 do dowolnej wielokrotności 7. Nie mając o tym pojęcia, analizują twierdzenie Bezouta. Twierdzenie to głosi, że wszystkie możliwe kombinacje wielokrotności (zarówno dodatnich, jak i ujemnych) dwóch liczb są zbiorem wielokrotności największego wspólnego dzielnika (dzielnika) tych dwóch liczb. Największy wspólny dzielnik liczb 4 i 7 to 1, więc powinniśmy być w stanie uzyskać wszystkie możliwe liczby. Co więcej, istnieje nieskończenie wiele sposobów na uzyskanie każdej z nich.
Oto kilka przykładów liczb od 1 do 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2 x 4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3 x 4
Gdy masz kombinację największego wspólnego dzielnika, możesz jej użyć, aby uzyskać dowolną wielokrotność największego wspólnego dzielnika. Dla 4 i 7, jednym ze sposobów uzyskania 1 jest 2 x 4 – 7. Możemy uzyskać dowolną inną liczbę, taką jak 23, pisząc 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Gdy mamy jedno rozwiązanie dla liczby, możemy uzyskać wszystkie pozostałe rozwiązania, dodając do niej 0 (wiem, że brzmi to dziwnie). Na przykład mamy 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Możemy dodać dowolną wielokrotność (7 x 4 – 4 x 7), a to nie zmieni wartości.
POSZUKIWANIE
Jak wspomniano powyżej, ten proces wygeneruje dokładnie wszystkie wielokrotności największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Jeśli ten NWD wynosi 1, wszystkie liczby zostaną wygenerowane.
Weźmy na przykład 4 i 6. Ich NWD wynosi 2. Każda kombinacja wielokrotności 4 i 6 będzie zawsze parzysta, więc nie da się wygenerować wszystkich liczb. Staje się to bardziej oczywiste, gdy wyobrazimy sobie 4 i 6 jako 2 razy 2 i 3. Wiadomo, że sumy wielokrotności 2 i 3 dadzą wszystkie liczby, ponieważ są one względnie pierwsze. Jednak 4 i 6 pomnożą każdą z tych sum przez 2, dlatego właśnie otrzymamy wszystkie wielokrotności 2!