Wypełnianie trójkątów trójkątami
Trójkąt foremny to taki, którego boki i kąty są równe (jest równoboczny i równokątny). Oto jak wypełnić jeden duży trójkąt foremny 1, 4 lub 7 trójkątami foremnymi.
WYZWANIE
Znajdź inne liczby trójkątów foremnych, aby wypełnić duży trójkąt foremny. Czy potrafisz to zrobić dla 2, 3, 5, 6, 8, 9 lub 10 trójkątów foremnych?
POSZUKIWANIE
Jeśli to możliwe, znajdź więcej niż jeden sposób uzyskania niektórych z tych liczb.
Komentarz
WYZWANIE
Oto systematyczny sposób tworzenia różnych zestawień.
Kwadraty: Dobrym punktem wyjścia są liczby kwadratowe. Łatwo jest wypełnić trójkąt trójkątami 1, 4 i 9, wypełniając go regularnym wzorem pokazanym na poniższej ilustracji.
Liczby parzyste: Po kilku eksperymentach możesz stworzyć wzory dla 6, 8, 10 lub dowolnej innej większej liczby parzystej w następujący sposób. Zacznij od dużego trójkąta, a następnie dodaj mniejsze trójkąty wzdłuż jednego boku.
Zastąpienie jednego trójkąta: Kolejnym ważnym krokiem jest zrozumienie, że każdy trójkąt w rozwiązaniu można zastąpić dowolnym innym istniejącym rozwiązaniem. Na przykład, zrobiono to podczas tworzenia wzoru dla liczby 7 we wstępie – trójkąt w środku dla liczby „4” został zastąpiony czterema mniejszymi trójkątami, tworząc „7”.
Za każdym razem, gdy jeden trójkąt zostanie zastąpiony czterema trójkątami, całkowita liczba trójkątów wzrośnie o 3. Zacznij od listy rozwiązań, używając liczb kwadratowych i parzystych: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 i 16, a następnie dodaj 3 do każdego wpisu na tej liście, aby uzyskać 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 i 17. Połączenie tych dwóch list daje wszystkie możliwości do 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17. Korzystając z tych pomysłów, każda liczba powyżej 17 jest wystarczająco łatwa, więc dochodzimy do wniosku, że:
Odpowiedź: Możliwa jest każda liczba oprócz 2, 3 i 5.
POSZUKIWANIE
Niektóre z tych liczb można przedstawić na więcej niż jeden sposób. Na przykład, 9 można przedstawić jako wzór 3x3 lub jako 6 plus trzy kolejne. Oczywiście istnieją inne ciekawe sposoby wypełnienia trójkąta, które warto odkryć.