Znajdowanie kwadratów – 1
Na siatce na czerwono narysowano dwa kwadraty o wymiarach 1 na 1 i jeden kwadrat o wymiarach 2 na 2 z bokami poziomymi i pionowymi.
WYZWANIE
Znajdź liczbę kwadratów wszystkich rozmiarów o bokach poziomych i pionowych w tej siatce.
POSZUKIWANIE
Poeksperymentuj z jeszcze większymi siatkami. Czy potrafisz znaleźć systematyczny sposób na policzenie wszystkich kwadratów? Jak, o ile w ogóle, zmieni się Twoja odpowiedź, jeśli siatka punktów będzie prostokątem, który nie jest kwadratem?
Komentarz
WYZWANIE
Możliwe są kwadraty o długościach boków od 1 do 4.
Dla każdego rozmiaru kwadratu, potraktuj lewy górny róg jako pozycję początkową. Możesz utworzyć wszystkie kwadraty tego rozmiaru w siatce, przesuwając ten kwadrat początkowy. Możesz przesunąć go w prawo lub w dół o pozostałą liczbę pozycji. Są to niezależne opcje, więc otrzymujesz kwadrat o tym rozmiarze.
Załóżmy na przykład, że liczymy kwadraty 1x1 w siatce 4x4. Kwadrat 1x1 w lewym górnym rogu można przesunąć o 1 lub 2 w prawo i o 1 lub 2 w dół. Mamy więc 3 możliwe położenia w poziomie (licząc położenie początkowe) i 3 możliwe położenia w pionie. W rezultacie mamy 3 x 3 kwadraty 1x1.
W przypadku oryginalnego problemu z siatką 4 na 4, daje to następującą liczbę:
- Kwadraty 1 na 1: 3 x 3 = 9
- Kwadraty 2 na 2: 2 x 2 = 4
- Kwadraty 3 na 3: 1 x 1 = 1.
Łącznie jest 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 możliwych kwadratów.
POSZUKIWANIE
W przypadku dowolnej siatki kwadratowej, całkowita liczba kwadratów będzie sumą liczb kwadratów pomniejszoną o rozmiar siatki. Na przykład, siatka 7 na 7 będzie miała 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 kwadratów.
Siatki prostokątne są niemal równie łatwe do policzenia. Mniejszy z dwóch wymiarów prostokąta ogranicza maksymalny rozmiar możliwych kwadratów. Policz je w podobny sposób, jak w przypadku siatki kwadratowej. Zamiast rozpatrywać przypadek ogólny, posłużmy się jednym przykładem ilustrującym.
Załóżmy, że liczysz kwadraty w siatce o wymiarach 5 na 7. Ponieważ jest tylko 5 rzędów, żaden kwadrat nie może być większy niż 4 na 4.
- Kwadraty 1 na 1: 4 x 6 = 24
- Kwadraty 2 na 2: 3 x 5 = 15
- Kwadraty 3 na 3: 2 x 4 = 8
- Kwadraty 4 na 4: 1 x 3 = 3
Łączna liczba kwadratów wynosi 24 + 15 + 8 + 3 = 50.