Biedronki, które się nie sumują – 2
Ponumerowane biedronki lądują na dwóch liściach. Zasada jest taka: liczba kropek dwóch biedronek na liściu nie może się sumować z liczbą kropek innej biedronki na tym samym liściu. Liść po lewej jest w porządku, ale liść po prawej ma 2 + 4 = 6.
WYZWANIE
Zaczynając od 1 i licząc w górę, jak wysoko możesz umieścić ponumerowane biedronki na trzech liściach, przestrzegając przy tym reguły dla każdego z liści?
POSZUKIWANIE
Jak się zmienią rzeczy, jeśli użyjesz tylko liczb parzystych? Jak się zmienią rzeczy, jeśli użyjesz tylko liczb nieparzystych? Co się stanie, jeśli użyjesz więcej niż trzech liści?
Komentarz
WYZWANIE I EKSPLORACJA
Znacznie trudniej jest zarządzać trzema liśćmi w sposób zorganizowany niż dwoma.
Chociaż problem ten jest bardzo złożony, istnieją dwa proste sposoby na umieszczenie liczb na liściu, które są zaskakująco potężne: 1) umieść potęgi 2 na liściu (1 2 4 8 16 …) i 2) zacznij od jakiejś liczby i umieść wszystkie kolejne liczby aż do dwukrotności tej liczby (5 6 7 8 9 10).
Możemy również wybrać najlepszą odpowiedź dla dwóch liści, (1 2 4 8) – (3 5 6 7), a następnie umieścić kolejne liczby na trzecim liściu: (1 2 4 8) – (3 5 6 7) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18). Po tym dobrym początku możemy umieścić kilka kolejnych liczb na pierwszych dwóch liściach: (1 2 4 8 22) – (3 5 6 7 19 20 21) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18).
Ta odpowiedź, sięgająca 22, jest zaskakująco bliska najlepszej odpowiedzi. Aby mieć pewność, jaka jest najlepsza możliwa odpowiedź, trzeba albo napisać program komputerowy, albo zajrzeć do literatury matematycznej na temat „zbiorów bez sumy” lub „partycji bez sumy”. W literaturze znajdziesz następującą odpowiedź na 23, która zawiera tylko kilka zmian (przesunięcie 11 i 16) w stosunku do poprzedniej odpowiedzi: (1 2 4 8 11 16 22) (3 5 6 7 19 21 23) (9 10 12 13 14 15 17 18 20).
Najlepsza odpowiedź dla czterech liści do 66 to: (1 2 4 8 11 16 22 25 40 43 53 66) (3 5 6 7 19 21 23 34 35 50 51 52 63 64 65) (9 10 12 13 14 15 17 18 20 54 55 56 57 58 59 60 61 62) (24 26 27 28 29 30 31 32 33 36 37 38 39 41 42 44 45 46 47 48 49). Możesz być zaskakująco blisko tej odpowiedzi, stosując tę samą strategię, której użyliśmy do uzyskania pierwszej odpowiedzi dla trzech liści.
Najlepsza odpowiedź dla pięciu liści sięga 196. To nierozwiązane zadanie: jaka jest najlepsza odpowiedź dla sześciu liści! Może któryś z Twoich uczniów będzie się dobrze bawił, bawiąc się tym i wymyślając świetne rozwiązanie!
Praca z liczbami parzystymi polega po prostu na podwojeniu wszystkiego, co było wcześniej. Najlepsza odpowiedź dla liczb parzystych będzie dwa razy lepsza niż dla liczb zwykłych.
Wszystkie nieparzyste liczby mogą być umieszczone na jednym liściu, więc fakt, że mają trzy liście, nie robi im dużej różnicy.