Blocos em caixa
O DESAFIO
Há uma caixa de madeira, sem tampa, contendo uma coleção de 64 blocos de dimensão 4 x 4 x 4. Quantos blocos tocam alguma parte da caixa?
EXPLORAÇÃO
O que acontece com uma coleção de 125 blocos de 5 x 5 x 5 em uma caixa maior? E com caixas de outros tamanhos? Como essas respostas mudam se as caixas tiverem uma tampa que toca a fileira superior de blocos?
Notas
O DESAFIO
Existem diferentes maneiras de abordar a resolução deste problema.
- Imagine um núcleo de blocos de 2 x 2 x 3 = 12 que não se tocam nas laterais.
- Se tivesse uma tampa, haveria 2 x 2 x 2 = 8 blocos que não tocariam na caixa. Além desses 8, haveria 2 x 2 x 1 = 4 blocos que tocariam apenas a tampa.
- Você pode somar os blocos nas laterais e subtraí-los do total de 4 x 4 x 4 = 64. Este é o método mais difícil. Há 4 x 4 x 1 = 16 blocos no fundo da caixa. Há 3 x 12 = 36 blocos ao redor das laterais que não tocam o fundo. Portanto, há 64 – (16 + 36) = 12 blocos na parte interna.
EXPLORAÇÃO
Analise estes dados usando apenas o primeiro método. 5 x 5 x 5. Sem tampa, há 3 x 3 x 4 = 36 blocos que não tocam a caixa. Com tampa, há 3 x 3 x 3 = 27 blocos que não tocam.
axbxc, onde c é a altura. Suponha que cada um desses números seja pelo menos três. Sem tampa, a e b são reduzidos em 2 e c em 1, então há (a – 2) x (b – 2) x (c – 1) blocos. Com tampa, (a – 2) x (b – 2) x (c – 2) blocos não se tocam.