Somas iguais – 4
O DESAFIO
Aqui está um diagrama criado pela sobreposição de quatro círculos. A sobreposição dos círculos cria oito regiões. Coloque um número em cada uma das oito regiões, usando cada um dos números de 1 a 8 exatamente uma vez, de modo que a soma dos números em cada círculo seja a mesma.
EXPLORAÇÃO
Quantas respostas diferentes você consegue encontrar? Acha que existem mais? O que acontece se você usar outros intervalos de números? Existem outros problemas interessantes como este com círculos que se intersectam?
Notas
O DESAFIO E A EXPLORAÇÃO
Comece por determinar quais somas são possíveis para a soma comum de todos os círculos. Seja Soma esse valor. Sejam A, B, C e D os valores das quatro regiões onde dois círculos se intersectam. A soma dos quatro círculos é 4 x Soma, e também é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Então temos a equação 4 x Soma = 36 + A + B + C + D, logo Soma = 9 + (A + B + C + D) / 4. O menor valor possível para A + B + C + D é 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Esse valor precisa ser divisível, então seu menor valor possível é 12, o que significa que o menor valor possível é Soma = 9 + 12 / 4 = 12.
Note que qualquer solução pode ser transformada em outra solução subtraindo todos os elementos de 9. Fazendo isso, a soma anterior se transforma em 27 – Soma. Consequentemente, os únicos valores possíveis para a soma são 12, 13, 14 e 15. Como 12 e 15 estão interligados, e 13 e 14 também, precisamos verificar apenas as soluções para 12 e 13.
Aqui estão as soluções para a soma com valores 12 e 13. Acontece que essas são as únicas soluções possíveis para essas duas somas.
Observe que a soma dos números nos centros de círculos não adjacentes é igual ao valor de K. Por exemplo, no diagrama mais à esquerda, 8 + 4 = 5 + 7. Demonstre que isso sempre ocorre com um pouco de álgebra. Sejam K e L os valores nos centros de dois círculos opostos, e sejam M e N os outros dois valores. Se somarmos as áreas dos centros dos dois círculos correspondentes a K e L, obtemos 2 x Soma = K + L + (A + B + C + D). De forma semelhante, somando as áreas dos centros dos dois círculos correspondentes a M e N, obtemos 2 x Soma = M + N + (A + B + C + D). Isso implica que K + L = M + N.
Observe também que, como 4 x Soma = 36 + A + B + C + D, obtemos 2 x Soma = M + N + (4 x Soma – 36). Reescrevendo isso, temos M + N = 36 – 2 x Soma. Para nossos quatro valores de Soma, de 12 a 15, os valores de M + N são 12, 10, 8 e 6.
Como 12 = 4 + 8 = 5 + 7 são as únicas maneiras de se obter 12, a solução acima para Soma = 12 é a única solução. Embora 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 sugira que existam mais possibilidades para Soma = 13, uma rápida verificação dos três pares possíveis (2, 8), (3, 7) e (4, 6) mostra que a solução acima é a única para Soma = 13.