Calculadora quebrada – 1
Você tem uma calculadora que está muito quebrada. As únicas teclas que funcionam são 4, 7, + e -. Mesmo com essa capacidade limitada, é possível formar qualquer número. Por exemplo:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
O DESAFIO
Mostre que esta calculadora consegue gerar todos os números de 1 a 12.
EXPLORAÇÃO
Substitua 4 e 7 por outros pares de números. Quando é possível obter todos os números de 1 a 12 e quando é impossível? Você consegue olhar para um par de números e prever o que acontecerá?
Notas
O DESAFIO
Os alunos estão experimentando com todos os números que podem ser produzidos somando qualquer múltiplo de 4 a qualquer múltiplo de 7. Sem que lhes seja dito isso, eles estão analisando o chamado Teorema de Bézout. Esse teorema afirma que todas as combinações possíveis dos múltiplos (positivos e negativos) de dois números constituem o conjunto dos múltiplos do maior divisor comum desses dois números. O maior divisor comum de 4 e 7 é 1, portanto, devemos ser capazes de obter todos os números possíveis. Além disso, haverá um número infinito de maneiras de obter cada um deles.
Aqui estão alguns exemplos para os números de 1 a 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2x4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3x4
Uma vez que você tenha uma combinação para o maior divisor comum (MDC), você pode usá-la para obter qualquer múltiplo do MDC. Para 4 e 7, uma maneira de obter 1 é como 2 x 4 – 7. Podemos obter qualquer outro número, como 23, escrevendo 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Uma vez que tenhamos uma solução para um número, podemos obter todas as outras soluções adicionando 0 a ele (eu sei que isso soa estranho). Por exemplo, temos 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7. Podemos adicionar qualquer múltiplo que quisermos de (7 x 4 – 4 x 7) e isso não alterará o valor.
EXPLORAÇÃO
Conforme mencionado acima, esse processo produzirá exatamente todos os múltiplos do maior divisor comum dos dois números. Se esse MDC for 1, então todos os números serão produzidos.
Tomemos como exemplo os números 4 e 6. O seu MDC (Máximo Divisor Comum) é 2. Qualquer combinação de múltiplos de 4 e 6 será sempre par, portanto é impossível produzir todos os números. Isso fica mais evidente se pensarmos em 4 e 6 como 2 vezes 2 e 3. Sabemos que a soma de múltiplos de 2 e 3 produz todos os números porque eles são primos entre si. No entanto, 4 e 6 multiplicam cada uma dessas somas por 2, e é por isso que obtemos todos os múltiplos de 2!