Triângulos Mágicos – 1
A soma dos lados de um triângulo mágico é sempre a mesma. Este exemplo NÃO é um triângulo mágico.
O DESAFIO
Use os números de 1 a 6 para criar um Triângulo Mágico, como mostrado abaixo.
EXPLORAÇÃO
Quais são as diferentes somas possíveis para Triângulos Mágicos que utilizam os números de 1 a 6?
Notas
O DESAFIO E A EXPLORAÇÃO
Deixe seus alunos explorarem isso. Se prestarem atenção ao que estão fazendo, descobrirão relações interessantes e aproveitarão bastante a experiência. Para alunos mais jovens, não há absolutamente nenhuma necessidade de realizar análises complexas.
Para sermos mais analíticos, some os três lados. Essa soma será a soma dos números de 1 a 6 mais os três cantos multiplicados por um. A soma dos números de 1 a 6 é 21. Portanto, o triplo da soma comum é 21 mais a soma dos três cantos. Visto de outra forma, a soma comum será 7 mais um terço da soma dos cantos. A menor soma possível dos três números dos cantos é 1 + 2 + 3 = 6, e a maior é 4 + 5 + 6 = 15. Assim, a soma comum pode ser qualquer valor entre 7 + (6 / 3) = 9 e 7 + (15 / 3) = 12. Vamos analisá-los um de cada vez.
Soma comum = 9. Os cantos devem ser 1, 2 e 3. O número entre 1 e 2 deve ser 6. O número entre 1 e 3 deve ser 5. O número entre 2 e 3 deve ser 4. Funcionou!
Soma comum = 10. Os cantos somam 9. Os cantos podem ser (1 3 6), (1 3 5) ou (2 3 4). (1 2 6) não funciona porque não há nada que possa ser colocado entre 1 e 2. (1 3 5) funciona colocando 6 entre 1 e 3, 4 entre 1 e 5 e 2 entre 3 e 5. (2 3 4) não funciona porque não há nada que possa ser colocado entre 2 e 4.
Soma comum = 11. Os cantos somam 12. Os cantos podem ser (1 5 6), (2 4 6) ou (3 4 5). (1 5 6) não funciona porque não há nada para colocar entre 5 e 6. (2 4 6) funciona porque você pode colocar 1 entre 4 e 6, 3 entre 2 e 6 e 5 entre 2 e 4. (3 4 5) não funciona porque não há nada para colocar entre 3 e 4.
Soma comum = 12. Os cantos devem ser 4, 5 e 6. O número entre 4 e 5 deve ser 3. O número entre 4 e 6 deve ser 2. O número entre 5 e 6 deve ser 1. Funcionou!
Existem quatro soluções no total.
Você pode economizar muito trabalho se perceber que pode obter todas as respostas para a Soma Comum sendo 11 e 12 pegando as respostas para a Soma Comum sendo 9 e 10 e subtraindo esses valores de 7. Por exemplo, a resposta para Soma Comum = 9 tem lados (1 6 2), (1 5 3) e (2 4 3). Se esses valores forem subtraídos de 7, a resposta para Soma Comum = 12 será encontrada, ou seja, (6 1 5), (6 2 4) e (5 3 4).
Se você comparar “Somas Iguais – 2” com “Triângulos Mágicos – 1”, verá que se trata do mesmo quebra-cabeça!