Sume egale – 2
PROVOCAREA
Iată o diagramă creată prin suprapunerea a trei cercuri. Cercurile suprapuse creează șase regiuni. Puneți câte un număr în fiecare dintre cele șase regiuni, folosind fiecare dintre numerele de la 1 la 6 exact o dată, astfel încât suma numerelor din fiecare cerc să fie aceeași.
EXPLORARE
Câte răspunsuri diferite poți găsi? De unde știi că le-ai găsit pe toate?
notițe
PROVOCAREA ȘI EXPLORAREA
Iată cele patru soluții. Pentru a înțelege de ce acestea sunt singurele, fie A, B și C cele trei regiuni în care se intersectează două cercuri și fie Sum suma comună a celor trei cercuri. Calculați suma totală în două moduri. Ca sumă a celor trei cercuri, suma este 3 x Sum. Ca sumă a tuturor celor șase numere plus A, B și C, suma este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Cele două lucruri sunt egale, deci avem 3 x Sum = 21 + A + B + C. Împărțind la 3, avem Sum = 7 + (A + B + C)/3.
Pentru ca Sum să fie un număr întreg în această ultimă ecuație, A + B + C trebuie să fie divizibile la 3. Aceasta permite doar patru posibilități pentru A + B + C - este fie 6, 9, 12, fie 15, iar valorile corespunzătoare pentru Sum sunt 9, 10, 11 sau 12.
Cele patru soluții date aici au valori de sumă de 9, 10, 11 și 12. După cum vom vedea, acestea sunt toate soluțiile!
Pentru a economisi efort, rețineți că dacă luăm o soluție și scădem toate intrările din 7, obținem o altă soluție. De asemenea, rețineți că noua soluție va avea o valoare Sum care este 21 – (vechea Sumă). Prin urmare, soluțiile pentru valorile Sumei 9 și 10 ne dau soluțiile pentru valorile Sumei 11 și 12.
Dacă A + B + C = 6, atunci A, B și C sunt 1, 2 și 3, iar Suma = 9. Aceasta este soluția din stânga sus.
Dacă A + B + C = 9, atunci Sum = 10 și (A, B, C) este (1, 2, 6), (1, 3, 5) sau (2, 3, 4). Dacă verificați, (1, 2, 6) și (2, 3, 4) sunt imposibile. Aceasta lasă soluția din dreapta sus ca singura soluție Sum = 10.
Dacă comparați „Sume egale – 2” cu „Triunghiuri magice – 1”, veți vedea că sunt același puzzle!