Билијарска кугла која се одбија
ИЗАЗОВ
Билијарска кугла испаљена под углом од 45 степени из доњег левог угла билијарског стола димензија 3 пута 4 одскочиће 5 пута пре него што удари у доњи десни угао стола. Ако почнете од доњег левог угла билијарског стола димензија 4 пута 7, колико пута ће кугла одскочити пре него што удари у један од углова?
ОБЈАШЊЕЊЕ
За друге величине столова, можете ли предвидети који ће угао бити први погођен и колико ће одскока бити направљено? Можете ли користити неке идеје из геометрије да бисте поједноставили проблем?
белешке
ИЗАЗОВ И ИСТРАЖИВАЊЕ
Ово се може играти и уживати у томе користећи комад милиметарског папира и гледајући шта се дешава. Такође се може приступити систематичније и ригорозније.
Прво што треба приметити је да величина стола није толико важна колико његов облик. Било који правоугаоник који је сличан другом (има исти однос дужина страница) даће исти резултат. Дакле, сто димензија 3 пута 4 биће исти као сто димензија 6 пута 8 и сто димензија 9 пута 12.
Корисна вежба у овом тренутку је прикупљање резултата онога што се дешава за табеле димензија 1 пута n и 2 пута n.
- 1 пута n: Лопта ће се одбити n – 1 пута и завршиће у доњем десном углу ако је n парно, и горњем десном углу ако је n непарно.
- 2 пута n: Ако је n = 2k, онда се столови 2 пута 2k понашају као столови 1 пута k (јер су слични). На столу 2 пута (2k + 1) има n одскока и лопта завршава у горњем левом углу.
Након још мало експериментисања појављује се општи резултат!
Резултат
Ако k и n немају заједничке чиниоце, онда ће табелa ak са n имати k + n – 2 одскока. Лопта ће завршити у горњем левом углу ако је k паран број. Ако је k непарно, лопта ће завршити у горњем десном углу ако је n непаран број и у доњем десном углу ако је n паран број. Ако k и n имају заједничке чиниоце, онда поделите те чиниоце и примените овај резултат на редуковане бројеве.
Једна згодна техника да се ово лакше види јесте да се „расклопе“ одскоци. Направите мрежу столова, као што је приказано на слици, и пустите лопту да иде праволинијски кроз све плоче стола!
