Egyptiska bråk – 1
För ungefär 4000 år sedan utvecklade de gamla egyptierna ett speciellt sätt att skriva bråk. Enhetsbråk,
som är bråk med 1 i täljaren, såsom ⅓ och ⅛, var viktiga för dem och är även kända som egyptiska bråk. Egyptierna skrev alla bråktal som en egyptisk bråksumma, vilket är en summa av egyptiska bråk utan dubbletter. Till exempel, för ⅞ skrev de den egyptiska bråksumman ⅞ = ½ + ¼ + ⅛.
UTMANINGEN
Skriv 1 som en egyptisk bråksumma med så få bråk som möjligt.
1 = 1/A + 1/B + …
EXPLORATION
Övertyga dig själv om att du inte kan använda färre bråk för att få 1. Skriv ⅔, 3/2, 2/7, 3/7 och 4/7 som en egyptisk bråksumma. Lek med andra tal och leta efter mönster för sätt att dela upp ett bråk i egyptiska bråk som hjälper dig att arbeta med dem.
Anmärkningar
UTMANINGEN
Svaret på detta är enkelt nog: 1 = ½ + ⅓ + ⅙.
EXPLORATION
Det enda sättet att använda två bråk är som 1 = ½ + ½, och det är inte tillåtet.
A Girig algoritm kan användas för att skapa egyptiska bråksummor. I varje steg väljer denna algoritm enhetsbråket med minsta möjliga nämnare (det största möjliga värdet för bråket). Med den metoden är ⅔ = ½ + ⅙; 2/7 = ¼ + 1/28; 3/7 = ⅓ + 1/11 + 1/231; och 4/7 = ½ + 1/14. Den giriga algoritmen kan leda till onödigt stora nämnare, men den fungerar alltid. Till exempel, 3/7 = ⅓ + 1/11 + 1/231, men den kan skrivas enklare som 3/7 = ¼ + 1/7 + 1/28.
Ett sätt att göra 3/2 skulle vara att börja med 1 = ½ + ⅓ + ⅙, och kombinera det med 1⁄2 = ¼ + ⅕ + 1/20. På så sätt får vi 3/2 = 1 + ½ = (½ + ⅓ + ⅙) + (¼ + ⅕ + 1/20). Dina elever kanske hittar andra intressanta sätt att göra detta.
Om du går till Wikipedia hittar du många intressanta formler för egyptiska bråksummor. En användbar formel för 1/n är 1/(n + 1) + 1/[n(n+1)]. Till exempel, ¼ = ⅕ + 1/20.